WYKŁAD
08 październik 2002
FINAŁ ZAGADKI FALOWO-KORPUSKULARNEGO DUALIZMY
                     
 
Mechanika kwantowa, a falowo-korpuskularny paradygmat. Powszechnie uznana jako szczytowe osiągnięcie ludzkiego intelektu, współczesna teoria fizyczna jaką jest
 
 
mechanika kwantowa opiera się na założeniu, że dyfrakcyjno-interferencyjne obrazy obserwowane w niektórych eksperymentach ze światłem czy też z elektronami nie mogą być wyjaśnione w oparciu o pojęcie zlokalizowanej cząstki i wobec tego za podstawę opisu zjawisk mikroskopowych należy wziąć równanie falowe fizyki ośrodków ciągłych.
 
 
Takim stwierdzeniem zaczyna się Mechanika Kwantowa w akademickim podręczniku "Feynmanowskie lekcje fizyki", tak też zaczyna się Mechanika Kwantowa napisana przez L.Landaua i L.Lifszica. Podobną argumentację można znaleźć praktycznie w każdym podręczniku mechaniki kwantowej. Tak więc, zagadka falowo-korpuskularnego dualizmu, a właściwie to falowa teoria światła Huygensa legła u podstaw odejścia od fundamentalnych zasad fizyki klasycznej. W konsekwencji mamy teorię, która twierdzi, że ani budowy atomu, ani budowy cząsteczki, ani budowy ciała stałego nie da się opisać w ramach deterministycznych praw fizyki klasycznej, i która głosi, że nierówność Heisenberga wyznacza obszar, gdzie może nie obowiązywać, ani zasada przyczynowości, ani zasada zachowania energii. Jednak brak koncepcji na rozwiązanie falowo-korpuskularnej łamigłówki nie stanowi jeszcze dowodu na to, że łamigłówka ta rozwiązania nie posiada. Wychodząc z tej przesłanki, postaramy się wykazać fałsz falowo-korpuskularnego paradygmatu tkwiącego u podstaw współczesnej teorii mikroświata i pokażemy, jak w ramach dynamiki Newtona można otrzymać interferencyjno-dyfrakcyjno obrazy.
 
 
Falowa formuła Bragga i jej korpuskularna alternatywa. Z pośród wielu argumentów mających świadczyć na rzecz "falowej" natury światła, na pierwszym miejscu należy postawić "falową" formułę Bragga. Wydedukowana z pomiarów rozpraszania promieni Roentgena na atomach sieci krystalicznej ciała stałego, formuła ta ma postać:
 
(1)
n l = 2 d sin q B,            gdzie   n = 1, 2, 3,....
 
 
Wiąże ona wielkość l będącą miarą przenikliwości promieni X, z odległością pomiędzy atomowymi jądrami usytuowanymi w różnych płaszczyznach sieci krystalicznej - w przypadku prostej sieci kubicznej parametr d wyraża się przez stałą sieci krystalicznej a w sposób następujący:
 
 
d = a / (h 2+k 2+l 2) 1/2,
gdzie h, k, l to dowolne liczby całkowite 0, 1, 2,....
 
 
Doświadczenia z elektronami, a później z neutronami pokazały, że "falowa" formuła Bragga, poprzez "falową" relację de Broglie'a
l = h / mn, opisuje również dyfrakcję cząstek. Uniwersalność nadzwyczaj prostej formuły Bragga wskazywała na to, że u jej podstaw musi się kryć jakiś nadzwyczaj prosty mechanizm. Zwolennicy falowej teorii mówią, że jest to interferencja - nakładanie się (superpozycja) fal (świetlnych, jak też elektronowych czy neutronowych) odbijanych od umownych płaszczyzn sieci krystalicznej. Szkopuł w tym, że jej zwolennicy mówiąc o odbiciu nie mówią nic konkretnego o mechanizmie odbicia od zbudowanej z punktów powierzchni i negują wyniki współczesnego eksperymentu - te świadczą o tym, że dyfrakcyjne obrazy powstają punkt po punkcie, od poszczególnych cząstek uderzających w ekran.

Aby nie pozostawać w sprzeczności z nie budzącym wątpliwości korpuskularnym mechanizmem powstawania dyfrakcyjnego obrazu należy nawiązać do idei Newtona, który postrzegał światło jako rój cząstek posiadających swoją wewnętrzną oscylacyjną dynamikę. Ale trzeba było czekać trzysta lat, aby ta oscylacyjna dynamika ujawniła swoje oblicze. Zaistniała ona po raz pierwszy w formule Planka, a jednoznacznie została zidentyfikowana przez Einsteina na gruncie zjawiska fotoelektrycznego. Tak więc, gdyby Newton znał wyrażenie na energię fotonu: E = hn = h / T i wiedział, że światło porusza się z szybkością c, formułę Bragga zapisłby w następujący sposób:
 
(2)
n c T = 2 d sin q,
 
 
a jej źródeł dopatrywałby się w oddziaływaniu fotonu z jądrami atomów, wyznaczającymi wielkość odcinka d. I tak, jak udało mu się, poprzez wprowadzenie siły grawitacji otrzymać prawa Keplera, tak starałby się rozszyfrować postać siły kryjącej się za formułą Bragga.

Korpuskularne korzenie formuły Bragga Starając się iść tropem Newtona najprostsze, co możemy zrobić to założyć, że oddziaływanie foton-jądro ma postać:
 
(3)
 
 
gdzie Q to ładunek atomowego jądra, a człon w nawiasie klamrowym reprezentuje oscylacyjne pole fotonu.
 
 
Rys.1. Oddziaływanie przebiegającej z dużą prędkością cząstki ze zmiennym polem elektrycznym w, a nieruchomym centrum siły z ładunkiem elektrycznym Q. Efekt tego oddziaływania reprezentuje wektor d p.
 
 
Ponieważ efekty dyfrakcyjne z reguły obserwuje się przy niewielkich ugięciach promienia świetlnego, to opis rozpraszania można oprzeć na pierwszym przybliżeniu rachunku zaburzeń. Aby obliczyć zmianę kierunku fotonu, przebiegającego w pobliżu atomowego jądra na odległości D, patrz rysunek 1, wystarczy więc obliczyć całkę:
 
(4)
 
 
gdzie d p jest składową normalną pędu jaka pojawia się w wyniku działania składowej normalnej siły F. Jeżeli siła ta ma postać określoną równaniem (3) to całkowanie nie przedstawia więkrzych trudności i otrzymujemy:
 
(5)
d p = d p max sin f   ,
 
 
gdzie kąt f określa fazę oscylacyjnego pola fotonu odpowiadającą momentowi mijania jądra, a czynnik d pmax zależny od parametru zderzenia D, ma postać:
 
(6)
 
 
Aby powiązać nasze rozważania z formułą Bragga, która w sposób jawny zależy od odległości pomiędzy jądrami, rozpatrzmy rozpraszanie na dwu rozsuniętych na odległość d, rys.2.
 
 
Rys.2. Periodyczny rozkład elektryczny w przestrzeni (na lewo) i zmienne pole elektryczne boegnącej cząstki (po środku). d sin q to efektywna odległość pomiędzy ładunkami jednorodnego łańcucha widziana przez biegnącą cząstkę (na prawo).
 
 
Przy rozpraszaniu na małe kąty, kiedy to foton porusza się praktycznie po linii prostej ze stałą prędkością c, o ostatecznej zmianie kierunku lotu, będzie w pierwszym przybliżeniu decydować zwykła suma zmian pędów d p a i d p b pochodzących odpowiednio od ładunku Q a i ładunku Q b.
 
Załóżmy teraz, że nasz pseudo-foton przebiega przez punkt centralny położony dokładnie w środku pomiędzy tymi ładunkami. W takiej sytuacji parametr zderzenia, tak względem jednego jak i drugiego ładunku, ma taką samą wartość i będziemy mieli:
 
(7)
d pab = d pmax [sin fa - sin fb]
 
 
Gdzie kąt fazowy f a odpowiada momentowi mijania pierwszego ładunku, a kąt fazowy f b odpowiada momentowi mijania drugiego ładunku. Oznaczamy przez f kąt fazowy w momencie przechodzenia fotonu przez punkt centralny pomiędzy ładunkami, a przez Df przesunięcie fazowe na odcinku ½ d sin q. Zmiana kąta fazowego Df zależy od okresu drgań pola elektrycznego fotonu T i od interwału czasu Dt potrzebnego na przebycie odcinka drogi ½ d sin q, który przy stałej prędkości c wynosi:
 
(8)
Dt = ½ d sin q (1/c).
 
 
Tak więc:
 
(9)
Df = 2 p Dt / T.
 
 
Biorąc pod uwagę, że:
 
(10)
f a = f - Df     oraz     f b = f + Df
 
 
równanie (7) opisujące proces rozproszenia przyjmie postać:
 
(11)
 
 
Z powyższego wynika, że d p ab = 0, to znaczy foton przejdzie pomiędzy centrami nie zmieniając kierunku ruchu, o ile argument funkcji sinus będzie całkowitą wielokrotnością liczby p, a więc kiedy będzie mieć miejsce następująca relacja czasowa:
 
(12a)
Dt = n ½ T.
 
 
Biorąc pod uwagę zależność (8) i oznaczając przez L odcinek drogi jaki przebiega foton w czasie jednego okresu drgań (L = c T)otrzymujemy odpowiednik formuły Bragga:
 
(12b)
d sin q = n L.
 
 
Otrzymana zależność różni się nieco od formuły Bragga jako, że po lewej stronie powyższego równania brak jest 2. Zastanawiając się nad tym skąd się bierze ta różnica, należy zauważyć, że sieć krystaliczna to nie tylko ładunki dodatnie, ale konglomerat ładunków dodatnich i ujemnych. Tak naprawdę mamy, więc do czynienia z łańcuchem dodatnio i ujemnie naładowanych centrów rozpraszających - statycznych w przypadku wiązania jonowego, z jakim mamy do czynienia na przykład w przypadku NaCl, i dynamicznych w przypadku wiązania kowalencyjnego realizowanego przez poruszający się od jądra do jądra elektron (o wiązaniu tym będziemy mówić w jednym z końcowych wykładów naszego kursu). Uwzględnienie tego faktu natychmiast prowadzi do pojawienia się w równaniu (12b) brakującej dwójki.
 
 
Reasumując nasze wywody należy mieć na uwadze, że formuła Bragga nie ma żadnego związku z rozkładem przestrzennym pola elektrycznego fotonu, a wynika z oscylacyjnego charakteru pola i odzwierciedla czasowo-przestrzenny rezonans z rozciągła strukturą rozpraszającego obiektu. Współmierność odcinka drogi dsinq reprezentującego rozmiary rozpraszającego obiektu z odcinkiem drogi L = cT, jaką przebiega foton w czasie jednego okresu drgań warunkuje niezakłócony ruch fotonu w regularnie zabudowanej przestrzeni. Możemy, więc twierdzić, że
 
 
formuła Bragga wyznacza kierunki wzdłuż, których w sieci krystalicznej ciała stałego mogą się poruszać fotony nie zauważając rozpraszających centrów, jakimi są regularnie rozmieszczone w przestrzeni atomowe jądra.
 
 
Dyfrakcja. Kątowa modulacja zogniskowanego strumienia. Ujawnienie mechanizmu kryjącego się za formułą Bragga to klucz do korpuskularnego opisu dyfrakcji i odtworzenia periodycznie zmodulowanej struktury obrazu rozproszeniowego szerokiej wiązki. Tak, więc korzystając z równania (8) i równania (11) i biorąc pod uwagę, że kąt rozpraszający w ramach przybliżenia małych kątów określony jest przez stosunek:
 
(13)
tgJ ~ d p / p0   ,
 
 
dochodzimy do kluczowej formuły stanowiącej bazę dla opisu zjawisk dyfrakcyjnych:
 
(14)
J (f, q) = Jmax • cosf • sin (p d sinq / L )   ,
 
 
gdzie:
 
 
Jmax = 2 d pmax / p0   .
 
 
W oparciu o formułę (14) możemy określić nie tylko położenia maksimów i minimów rozproszeniowych, ale i obliczyć wynikający ze statystycznego rozrzutu wartości kąta fazowego f rozkład intensywności dyfrakcyjnego obrazu. Aby obliczyć w przypadku pokazanym na rysunku trzecim rozkład intensywności na ekranie należy obliczyć całkę:
 
(15)
 
 
gdzie d to funkcja Diraca, której argument określony jest przez równanie (14).
 
 
Rys.3. Korpuskularny mechanizm powstawania dyfrakcyjnych obrazów.
 
 
Elektryczny obraz krawędzi. Doświadczenie Younga. W teorii falowej, krawędź to kreska na papierze pozbawiona jakiejkolwiek fizyki określająca jedynie formalne jej położenie dla matematycznych operacji. Tymczasem, z przeprowadzonych powyżej rozważań wynika, że zjawisko uginania się światła na krawędzi musi mieć swe źródła w ładunkach elektrycznych pojawiających się na granicy ośrodka. Tak, więc,
 
 
punktem wyjścia wszelkich rozważań o dyfrakcji światła musi być fizyczna definicja pojęcia krawędzi i pojęcia powierzchni.
 
 
Dziś, kiedy wiemy, że ciało stałe to zbiór dodatnich i ujemnych ładunków elektrycznych sprawa wydaje się być oczywista. Powierzchnia ciała stałego, a tym bardziej jego krawędź, to obszar, gdzie mamy do czynienia ze zburzoną jednorodnością dodatnich i ujemnych ładunków elektrycznych. I tak, biorąc za podstawę rozkład ładunków przestrzennych w warstwie podwójnej, o czym wiemy z eksperymentów plazmowych, można stworzyć domniemany obraz elektryczny szczeliny. Mamy więc na skraju krawędzi wąskie pasmo ładunków ujemnych i na pewnej odległości od skraju szersze pasmo ładunków dodatnich, patrz rysunek 4.
 
 
Rys.4. Jakościowy obraz rozkładu ładunków elektrycznych na granicy powierzchni ciała stałego. Ilościowy obraz będzie oczywiście zależał od użytego materiału, grubości przesłony i od szerokości szczeliny. Oczywiście wraz ze zmniejszaniem się odstępu pomiędzy krawędziami rozwarstwienie będzie zanikać, aby w granicy osiągnąć wartość zero - w jednorodnym materiale mamy oczywiście do czynienia z jednorodnym rozkładem ładunków elektrycznych.
 
 
Mając na uwadze, że pole elektryczne fotonu maleje ze wzrostem odległości, to na podążające w kierunku szczeliny fotony będzie w pierwszej kolejności działać pole elektryczne pochodzące od wąskiego pasma ładunków usytuowanych w pobliżu krawędzi. Jeżeli szczelina jest dostatecznie wąska, to siła rozpraszająca może osiągać duże wartości i szansę przejścia na jej drugą stronę będą miały tylko te fotony, które znalazły się w bezpośrednim sąsiedztwie szczeliny z polem elektrycznym bliskim zera - z kątem fazowym bliskim zera. Wąska szczelina będzie, więc działać jak selektor fazowy.
 
 
Rys.5. Szczelina jako identyfikator fazy. Przez szczelinę bez odchylenia przejdą tylko te fotony, których pole elektryczne w momencie mijania szczeliny było bliskie zera.
 
 
Na te fotony, które prześlizgnęły się przez silne pole rozpraszające ładunków na skraju krawędzi i znalazły się po drugiej stronie szczeliny będą odchylane w mniejszym lub większym stopniu przez dalej położoną warstwę ładunków dodatnich.
 
 
Rys.6. Geometria doświadczenia Younga. Foton rozproszony w polu elektrycznym ujemnych ładunków zlokalizowanych na krawędziach jednej szczeliny zmienia swój kierunek lotu w wyniku oddziaływania najpierw z bliżej położonym pasmem ładunków dodatnich tejże szczeliny, a potem z ładunkami elektrycznymi szczeliny następnej.
 
 
Wpływ ten łatwo obliczyć korzystając z zależności (5). Dla wąskiej strugi fotonów poruszających się wzdłuż osi szczeliny będziemy mieli:
 
(16)
 
 
gdzie dwa człony w nawiasie klasycznym opisują oddziaływanie z dwoma pasmami ładunków dodatnich usytuowanych na odległości D+, a Dt to interwał czasu potrzebny na przebycie drogi pomiędzy punktem określającym minimalną odległość toru fotonu do pasma ładunków a środkiem szczeliny:
 
(17)
Dt = D+ sinq / c   .
 
 
Biorąc pod uwagę, że wyrażenie (16) daje się sprowadzić do postaci:
 
(18)
 
 
po wycałkowaniu otrzymujemy wyrażenie określające kątową modulację wychodzącego ze szczeliny strumienia fotonów:
 
(19)
 
 
W tym przypadku skala kątowej modulacji określona jest poprzez stosunek D+ / L. Otrzymany w ten sposób obraz jest w zgodzie z obrazem, jaki obserwowany jest w eksperymencie, patrz rysunek 7.
 
 
 
Rys.7. Szerokie widoczne na zdjęciu ciemne pasma pochodzą od szerokich pasm ładunków dodatnich usytuowanych w otoczeniu każdej ze szczelin. Drobna modulacja pochodzi od ładunków z krawędzi szczeliny sąsiedniej.
 
 
W przypadku dwu szczelin, tak jak to ma miejsce w słynnym doświadczeniu Younga, na zmodulowany obraz pojedynczej szczeliny nałoży się jeszcze modulacja od położonych znacznie dalej ładunków elektrycznych drugiej szczeliny. W tym przypadku skala kątowej modulacji jest określona stosunkiem d/ L, gdzie d określa odstęp pomiędzy szczelinami.

A jednak Newton miał rację. Światło to cząstki. Przedstawione powyżej rozważania nie mogą oczywiście dać odpowiedzi na wiele pytań wyłaniających się z ogromu zaobserwowanych efektów dyfrakcyjnych. Nie mówią również nic o zjawiskach, które kryją się pod nawą interferencją, czy nie mówią nic o dynamice odbijania się fotonów od powierzchni. Pokazują jednak wyjście z kłopotliwej sytuacji jaką stworzyła zagadka falowo-korpuskularnego dualizmu. Periodyczna struktura obrazu dyfrakcyjnego ma swe korzenie w czasowo przestrzennym rezonansie oscylującego pola fotonu z periodyczną strukturą obiektu rozpraszającego. O kilku innych argumentach na rzecz korpuskularnej teorii światła zainteresowani mogą się dowiedzieć z wydanej przeze mnie w tym roku książki "Sprawa Atomu". Tych, którzy chcą wiedzieć coś o polu falowym elektronu, którego poszukiwał de Broglie i o powiązanych z nim efektach kwantowych, o których będzie rzecz w następnym wykładzie, odsyłam do mojego artykułu "Spin dynamical theory of the wave corpuscula duality" jaki ukazał się w 1987 roku na łamach International Journal of Theoretical Physics, Vol. 26, str.11.
 
  Powrót