AULA
08 Outubro 2002
FIM DO ENIGMA DA DUALIDADE ONDA - PARTÍCULA
                     
 
Mecânica quántica e paradigma ondulatóio-corpuscular. Considerada geralmente como consecução máxima do intelecto humano a teoria contemporânea chamada
 
 
mecânica quántica está partindo do princípio, que os efeitos de difração e de interferência da luz ou dos elétrons observados em algumas experiências não podem ser explicados na base do conceito de partícula localizada e por isso para tratar os fenómenos microscópicos temos de usar uma equação de onda adequada para os meios continuos.
 
 
Assim começa Mecânica Quántica - um livro de curso universitário de R. Feynman e também Mecânica Quántica escrita por L. Landau e L. Lifszic. Uma argumentação semelhante encontra se praticamente em cada manual de mecânica quántica. Então um enigma da dualidade onda-partícula bem como a teoria ondulatória da luz de Huygens causaram um recuo dos princípios básicos de física clássica. Em conseqüência temos uma teoria alegando, que com base nas idéias da mecânica clássica não é possivel descrever uma estrutura dos átomos, nem das moléculas, nem da matéria sólida em geral e dizendo, que sob certas condições, determinadas pelo princípio da incerteza de Heisenberg, a lei de conservação da energia ou de causalidade pode ser não cumprida. Porém, se por enquanto não temos uma boa ideia como resolver o enigma ondulatório-corpuscular, isto não significa, que a solução não existe. Então vamos tentar justificar uma falsidade do paradigma ondulatório-corpuscular e mostrar como, nos quadros da dinâmica de Newton podemos obter as imagens providas de interferência e de difração.
 
 
A lei de Bragg e sua alternativa corpuscular. Entre vários argumentos a favor da natureza "ondulatória" da luz temos de colocar em primeiro lugar a lei de Bragg. A fórmula "ondulatoria" de Bragg foi derivada dos resultados experimentais de espalhamento dos raios X numa rede cristalina e tem a forma seguinte:
 
(1)
n l = 2 d sin q B,            onde   n = 1, 2, 3,....
 
 
A variável l representa o poder penetrativo dos raios X e d representa a distância entre planos cristalinos na rede. Para uma rede cúbica simples a distância d depende de constante da rede a na maneira seguinte:
 
 
d = a / (h 2+k 2+l 2) 1/2,
onde h, k, l numeros inteiros 0, 1, 2,....
 
 
As experiências com os elétrons e mais tarde com os nêutrons mostraram, que a fórmula "ondulatória" de Bragg junto com a relação de de Broglie
l = h / mn governa também a difração das partículas. Este aspecto universal da fórmula simples de Bragg significa, que o mecanismo de difração deveria ser bem simples também. Os adeptos da teoria ondulatória dizem, que tal mecanizmo constitue a interferência ou superposição das ondas ( tanto da luz, quanto dos elétrons e nêutrons ) refletidas pelos planos cristalinos convencionais. O problema é que de um lado não se diz nada concreto sobre como tal superfície, que compõe-se de pontos discretos separados, reflete as ondas e de outro lado se ignora os resultados das experiências contemporaneas, que provam a formação das imagens de difração ponto por ponto.

Para comprovar o mecanismo de difração sem dúvida corpuscular temos de voltar à ideia de Newton de tratar a luz como um enxame de partículas, que possuem sua própria dinâmica oscilatória interna. Era preciso esperar trezentos anos para essa dinâmica manifestar seu aspecto. Pela primeira vez apareceu em fórmula de Planck e foi identificada por Einstein em efeito fotoelétrico. Então, se Newton conhecesse a equação para energia de fóton: E = hn = h / T soubesse, que a velocidade de luz é igual c escreveria a fórmula de Bragg na maneira seguinte:
 
(2)
n c T = 2 d sin q,
 
 
tratando a sua forma como manifestação da interação entre um fóton e os núcleos dos átomos na rede. Assim como conseguiu derivar as leis de Kepler introduzindo a força gravitacional, tentaria identificar a força oculta atrás da lei de Bragg.

Origem corpuscular da fórmula de Bragg. Tentando seguir a ideia de Newton, mais simples o que podemos fazer é assumir, que a interação fóton-núcleo tem a forma:
 
(3)
 
 
onde Q representa a carga do núcleo e o termo em parêntesis {} representa o campo oscilatório de fóton.
 
 
Fig.1. Interação entre uma partícula de alta velocidede, que possui o próprio campo elétrico variável w e o centro da força de carga elétrica Q imóvel. O vector d p representa o resultado dessa interação.
 
 
Como os efeitos observa-se geralmente com pequenos ângulos de difração então a descrição de espalhamento do raio de luz podemos basear na primeira aproximação do cálculo de perturbações. Para determinar o desvio da direção do caminho de fóton enquanto passa nas proximidades do núcleo de átomo em distância D, veja fig.1, bastante calcular a integral:
 
(4)
 
 
onde d p um componente normal do momento provocado por um componente normal da força F. Se essa força é definida pela equação (3), a integração não cria dificuldades e afinal temos:
 
(5)
d p = d p max sin f   ,
 
 
onde o ângulo f determina a fase do campo oscilatório de fóton num momento de ultrapasagem do núcleo e o fator d pmax que depende de parâmetro de colisão D, tem a forma:
 
(6)
 
 
Para juntar nossas deliberações com a fórmula de Bragg vamos considerar o espalhamento de fóton por dois núcleos seperados a uma distância d, fig.2.
 
 
Fig.2. Distribuição periódica da carga elétrica no espaço (à esquerda), campo elétrico variável de partícula em movimento (ao centro), d sin q - a distância eficaz entre as cargas de ponto de vista da partícula (à direita).
 
 
Para pequenos ângulos de espalhamento, quando o fóton movimenta-se com velocidade constante c praticamente ao longo da reta, a alteração definitiva da direção do movimento vai depender simplesmente, na primeira aproximação, de soma dos momentos d p a i d p b provenientes de carga Q a e carga Q b.
 
Agora vamos supor, que nosso quasi-fóton passa pelo ponto situado exatamente no meio entre as cargas. Nesse caso o parâmetro de colisão, em relação de uma carga e da outra, tem o mesmo valor, então:
 
(7)
d pab = d pmax [sin fa - sin fb]
 
 
onde o ângulo f a refere-se ao momento de ultrapassagem da primeira carga e o ângulo f b - ao momento de ultrapassagem da segunda. Vamos marcar o ângulo de fase no ponto central entre as cargas por f e a mudança de fase no segmento ½ d sin q por Df Esta mudança depende por sua vez do período de vibração do campo elétrico de fóton T e do intervalo de tempo Dt necessário para o fóton percorrer a distância ½ d sin q. Para a velocidade fixa c temos:
 
(8)
Dt = ½ d sin q (1/c).
 
 
Então:
 
(9)
Df = 2 p Dt / T.
 
 
Considerando, que:
 
(10)
f a = f - Df     e     f b = f + Df
 
 
A equação (7) vai ter a forma:
 
(11)
 
 
Segue-se, que o fóton pode passar entre as cargas sem alteração da sua direção quando d p ab = 0, ou seja, quando o valor da função seno acima é igual a zero. Isso acontece por sua vez, quando:
 
(12a)
Dt = n ½ T.
 
 
onde: n - número inteiro. Considerando a equação (8) e marcando por L o caminho percorrido pelo fóton em tempo de um período T (L = c T)obtemos o equivalente da fórmula de Bragg:
 
(12b)
d sin q = n L.
 
 
A fórmula acima está pouco diferente do que de Bragg por falta de coeficiente 2 no lado esquerdo da equação. Pensando bem de onde veio essa diferença precisamos reparar, que na rede não encontram-se apenas cargas positivas, mas o conjunto das cargas positivas e negativas. Na realidade esse conjunto forma uma cadeia dos centros de espalhamento com as cargas opostas - estáticos, caso ligação iônica e dinâmicos, caso ligação covalente ( sobre a ligação covalente vamos falar ainda depois ). Levando tudo isso em conta, fator 2, que faltou em (12b) vai aparecer imediatamente.
 
 
Resumindo nosso discurso temos de lembrar, que a fórmula de Bragg não tem nada a ver com a distribuição espacial do campo elétrico de fóton, mas vem de caráter oscilatório do campo e de certo modo reflete uma ressonância entre o campo de fóton e um objeto material de estrutura regular. Comensurabilidade do caminho dsinq, que representa a separação dos centros de espalhamento, e do caminho L = cT, condiciona um movimento livre do fóton em estruturas regulares. Assim podemos afirmar, que
 
 
a fórmula de Bragg determina as direções ao longo das quais os fótons podem percorrer uma rede cristalina do sólido sem serem perturbados pelos núcleos atómicos, que constituem os centros de espalhamento.
 
 
Difração. Modulação angular de fluxo focalizado. A revelação do mecanismo existente atrás da fórmula de Bragg traz uma chave para o tratamento corpuscular da difração e permite reproduzir as imagens de espalhamento específicas para o feixe largo. Portanto, aproveitando as equações (8) e (11) e sabendo, que para os ângulos pequenos temos:
 
(13)
tgJ ~ d p / p0   ,
 
 
chegamos à fórmula - chave, que constitui uma base para descrever os fenômenos de difração:
 
(14)
J (f, q) = Jmax • cosf • sin (p d sinq / L )   ,
 
 
onde:
 
 
Jmax = 2 d pmax / p0   .
 
 
Da fórmula (14) podemos deduzir não so as posições dos máximos e mínimos mas também a distibuição de intensidade da radiação espalhada. Para determinar uma distribuição de intensidade no anteparo, veja figura 3, precisamos calcular a integral:
 
(15)
 
 
onde d - a função delta de Dirac, o argumento x é dado via equação (14).
 
 
Fig.3. Mecanismo corpuscular de formação das figuras de difração.
 
 
A imagem elétrica da borda. Experiência de Young. Na teoria ondulatória a borda é apenas um traço no papel determinando a sua posição e facilitando as operações matemáticas, sem nenhuma propriedade físca. No entanto, tomando em conta as considerações acima, podemos ver, que o fenômeno de difração por borda deve ter a sua origem em aparecimento das cargas elétricas no limite entre os meios materiais diferentes. Então:
 
 
as definições físicas de borda e de superfície devem constituir um ponto inícial de todo o tratamento de difração da luz.
 
 
Hoje, quando sabemos, que o corpo sólido é um conjunto das cargas elétricas positivas e negativas, a questão parece ser obvia. A suprfície do corpo sólido e tanto mais a sua borda é uma região aonde distribuição uniforme das cargas está disturbada. Conhecendo ainda os resultados dos experimentos com plasma podemos criar o modelo elétrico da fenda. Por conseguinte temos, que na borda existe uma faixa estreita das cargas negativas e ao lado uma faixa mais larga das cargas positivas, veja figura 4.
 
 
Fig.4. Apresentação qualificativa de distibuição das cargas na borda do corpo sólido. A descrição quantitativa vai depender evidentamente de um material, da espessura e da largura da fenda. Diminuindo a largura da fenda até zero o distúrbio das cargas vai desaparecer - em material homogêneo a distribuição das cargas é uniforme.
 
 
Sabendo, que com o aumento de distância o campo elétrico de fóton diminui, concluimos, que os fótons correndo na direção da fenda vão interagir principalmente com o campo elétrico produzido pela faixa estreita das cargas negativas. Quando a fenda é bastante estreita a força difrativa pode se tornar bem grande e a maior chance para atravessar a fenda vão ter os fótons, que nas proximidades da fenda encontram-se com o campo elétrico, ou com o ângulo de fase próximo a zero. Portanto a fenda estreita vai funcionar como um seletor de fase.
 
 
Fig.5. Fenda como umseletor de fase. So os fótons com o campo elétrico instatâneo próximo a zero vão atravessar a fenda sem desvio.
 
 
Os fótons, que conseguiram passar o forte campo das cargas negativas vão ser desviados pela faixa das cargas positivas mais distante.
 
 
Fig.6. Esquema da experiência de Young. O fóton difratado num campo elétrico das cargas negativas localizadas nas bordas de uma fenda muda a sua direção por causa da influência das cargas positivas da mesma fenda e das cargas da fenda próxima.
 
 
Aproveitando a equação (5) podemos calcular esse efeito. Para o feixe estreito dos fótons paralelo ao eixo da fenda vamos ter:
 
(16)
 
 
onde os dois termos em parênteses descrevem as interações com as duas faixas das cargas positivas situadas em distância D+, a Dt - o tempo necessário para o fóton percorrer a distância D+ sinq:
 
(17)
Dt = D+ sinq / c   .
 
 
A equação (16) pode ser escrita na forma seguinte:
 
(18)
 
 
e calculando as integrais obtemos uma equação para a modulação angular de feixe dos fótons fora de fenda:
 
(19)
 
 
Neste caso o grau de modulação angular será determinado pela proporção D+ / L e desse jeito o resultado obtido está de acordo com as imagens observadas num experimento, veja figura 7.
 
 
 
Fig.7. Faixas escurasa e largas aparentes no filme procedem de influência das cargas positivas situadas nas proximidades de uma fenda única. A modulação fina aparece por causa de influência das cargas da fenda visinha.
 
 
No caso da dupla fenda de Young a figura de difração de uma fenda única é modulada pelas cargas elétricas da outra fenda. Essa vez o grau de modulação angular é determinado pela proporção d/ L, onde d separação entre as fendas.

Assim mesmo Newton tinha a razão. A luz é corpuscular. As considerações presentados acima não podem, claro, dar as respostas às muitas perguntas geradas pela imensidade dos efeitos de difração já observados. Também não dizem nada sobre o efeito chamado interferência ou sobre a dinâmica de reflexão dos fótons na superfície. Porém monstram a saida de uma situação embaraçosa criada por um enigma da dualidade onda - partícula. A estrutura periódica da figura de difração tem a sua origem em uma ressonância entre o campo oscilatório de fóton e uma estrutura regular dos centros de espalhamento. Os interessados podem achar alguns outros argumentos a favor da teoria corpuscular da luz em meu livro "Sprawa Atomu". , editado neste ano na lingua polonesa. Quem quer saber algo sobre o campo de onda de um elétron, procurado outrora por de Broglie, e sobre os efeitos quánticos correspondentes pode aproveitar o meu artigo "Spin dynamical theory of the wave corpuscula duality" publicado em 1987 por International Journal of Theoretical Physics, Vol. 26, pag.11. Aliás, esse assunto vamos tratar na próxima aula.
 
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