This page is hosted for free by cba.pl. Are you the owner of this page? You can remove this message and unlock many additional features by upgrading to PRO or VIP hosting for just 5.83 PLN!
WYKŁAD
15 listopad 2002
KWANTOWANIE.
PERIODYCZNE ZABURZENIA W PROBLEMIE KEPLERA.
                     
 
Maxwell zawinił - Kepler ukarany. Zagadka falowo-korpuskularnego dualizmu, której rozwiązanie zaprezentowałem na poprzednim wykładzie, była zasadniczą przyczyną odejścia od deterministycznych koncepcji klasycznej fizyki i wprowadzenia w początkach dwudziestego wieku mglistego formalizmu Kwantowej Mechaniki. Drugą zagadką, która dała początek Mechanice Kwantowej i przyczyniła się do porzucenia koncepcji zlokalizowanego elektronu była sprzeczność pomiędzy Maxwellowską teoria promieniowania a ewidentną stabilnością atomu. Według teorii Maxwella elektron poruszający się w Kulombowskim polu jądra emituje elektromagnetyczną energię i w konsekwencji musi ostatecznie spaść na jądro. Tymczasem, fizycy analizując bogaty materiał spektroskopowy doszli do wniosku, że
 
 
w pewnych szczególnych sytuacjach elektron w atomie może nie promieniować.
 
 
Znaleźli oni reguły (Bohr, Sommerfeld) - zwane regułami kwantowymi, określające warunki, kiedy elektron poruszając się po zamkniętej orbicie może nie promieniować. Jedna z kluczowych reguł określających bez-radiacyjne stany elektronu ma postać:
 
(1)
p(l) dl = nh,    n = 1, 2, 3, ... ,
 
 
gdzie h jest stałą Plancka , p jest pędem poruszającego się elektronu a całka rozciągnięta jest na całą zamkniętą orbitę elektronu.

Aczkolwiek kwantowe reguły były z powodzeniem stosowane przez wiele lat, wysiłki mające na celu zidentyfikowanie dynamiki skrywającej się za tymi regułami kończyły się niepowodzeniem. W rezultacie

sfrustrowani fizycy zakwestionowali stosowalność newtonowskiej dynamiki do opisu układów atomowych, aczkolwiek, to właśnie Makswellowska teoria promieniowania nie poradziła sobie z opisem emisji fotonu z atomu.

Tak to, na podstawie całkowicie fałszywej argumentacji Newtonowska dynamika została wyeliminowana z rozważań teoretycznych o atomie i całkowicie odżegnano się od koncepcji zlokalizowanego elektronu. Reguły kwantowe zostały zamienione przez równanie Schrödingera, a teoretyczne rozważania zostały w zasadzie ograniczone do globalnej charakterystyki atomu bez jakiegokolwiek odwoływania się do pojęcia trajektorii. Dyskretny zbiór liczb całkowitych n starej teorii kwantów został zastąpiony przez dyskretny zbiór periodycznych rozwiązań reprezentowanych przez zmienną y y równania falowego kwantowej teorii - są podstawy, aby sądzić, że n i y mogą formalnie być powiązane w sposób następujący:
 
(2)
 

Linear spectrum of atomic hydrogen - beginning of the quantum puzzle.
Aby usunąć sprzeczność (pozorną w zasadzie) pomiędzy teorią klasyczną a mechaniką kwantową należy mieć na uwadze, że rozważania kwantowe z reguły dotyczą energii i momentu pędu - wielkości, które w klasycznej dynamice rozpoczynają procedurę obliczeniową. Tak energia, jak i moment pędu definiują warunki początkowe dla różniczkowych równań ruchu elektronu. W świetle powyższego można postawić tezę:

Klasyczna dynamika i mechanika kwantowa reprezentuje dwie komplementarne procedury teorii atomu.

Ta dosyć zaskakująca teza znajduje swoje potwierdzenie w tym, że kwantowe reguły starej teorii kwantów były przecież sformułowane w ramach pojęcia zlokalizowanego elektronu poruszającego się po ściśle określonej orbicie. Co więcej, w 1968 roku, rosyjski fizyk Czetaew, pokazał, że równanie różniczkowe opisujące stabilność mechanicznych układów pod obecność periodycznych zakłóceń, o ile tylko siła zakłócająca spełnia pewne specyficzne warunki, ma postać równania Schrödingera. Tak, więc, ruch orbitalny elektronów jest określony równaniami klasycznej mechaniki, podczas, gdy kwantowe relacje określają warunki ruchu stacjonarnego pod obecność pewnych, na razie bliżej nieokreślonych, periodycznych zakłóceń. Można domniemywać, że zaburzenia te mają swoje źródła w spinowych własnościach elektronu, jako że reguły kwantowe są inherentnie powiązane ze stała Plancka h.

Aktualnie postaramy się rozszyfrować dynamikę skrywająca się za kwantowym formalizmem i ujawnić istotę kwantowo-klasycznej, pozornej w istocie, sprzeczności. Podejmując się tego zadania wróćmy na moment do pierwszych kroków w zakresie atomowej spektroskopii, dokąd to sięgają korzenie kwantowej zagadki.

Balmer, de Broglie i Bohr - narodziny kwantowej zagadki. Kwantowa zagadka bierze swój początek w odkryciu Balmera, to znaczy w numerycznej regule opisującej liniowe widmo światła emitowanego przez atomowy wodór. Odkryta reguła ma postać:
 
(3)
v nm = v 0 (1/n 2 - 1/m 2) ,    n = 1, 2, 3, ...m > n ,
 
 
gdzie v 0 reprezentuje ekstrapolowaną granicę obserwowanego widma.

Bohr, mnożąc obie strony Balmerowskiej formuły przez stałą Plancka h powiązał razem, dwie całkiem odmienne rzeczy: foton wyemitowany przez atom, z atomem, który ten foton wyemitował. W ten oto sposób energia fotonu h v n m została powiązana ze zmianą stanu energetycznego atomu, z jednego stanu energetycznego W m do drugiego stanu energetycznego W n:
 
(4)
h v nm = W n - W m .
 
 
Tak wiec, okazało się, że dyskretne widmo światła ma swój odpowiednik w dyskretnym widmie stanów energetycznych atomu:
 
(5)
W n = W 0 / n 2       and       W m = W 0 / m 2 .
 
 
Obserwowana granica serii h v 0, odpowiada najniższemu stanowi energetycznemu atomu, jakim jest stan podstawowy. W 0reprezentuje finalne stadium radiacyjnej ewolucji atomu.

Kiedy okazało się, że energia stanu podstawowego atomu W 0 określona z pomiarów spektroskopowych jest równa energii wiązania elektronu w atomie określonej poprzez potencjał jonizacji U i :
 
(6)
W 0 = 13.6 eV ,
 
 
Bohr mógł interpretować dyskretne widmo stanów energetycznych atomu jako poziomy energetyczne elektronu - przystanki, jakie robi elektron podczas radiacyjnej ewolucji atomu. Przy założeniu, że elektron jest cząstką punktową poruszającą się w Kulombowskim polu jądra zgodnie z prawami klasycznej dynamiki mógł on dyskretne widmo poziomów energetycznych powiązać z rozmiarami eliptycznych orbit. Mógł tego dokonać w oparciu o dobrze znane rozwiązanie problemu Keplera:
 
 
a = Z e 2 / 2 W ,
 
 
gdzie a reprezentuje wielką półoś eliptycznej orbity, zaś W energię wiązania elektronu w atomie. I tak, dla atomu w stanie podstawowym otrzymał wartość:
 
 
a = Z e 2 / 2 W 0 = 0,538 • 10 -8 cm .
 
 
Aczkolwiek, Bohr wprawdzie obliczył długość dużej półosi elipsy, to została ona nazwana promieniem Bohra, a to w wyniku arbitralnego założenia (całkiem błędnego !!!!), że orbita elektronu w stanie podstawowym ma kształt kola (w rzeczywistości, co pokażemy w następnym wykładzie, elektron pozostaje na trajektorii z zerowym momentem pędu, jaką jest trajektoria swobodnego spadku). Przypadkowo, błędne założenie dotyczące kształtu orbity elektronu w atomie umożliwiło Bohrowi dokonanie jednego z największych odkryć atomowej fizyki.

Bohr zauważył, że dla dyskretnego widma poziomów energetycznych atomu wydedukowanego z widma liniowego ma miejsce następująca relacja:
 
(7)
n l = 2 p r ,
the origin of the quantum puzzle
 
 
gdzie l jest długością fali de Broglie'a dla elektronu poruszającego się z szybkością odpowiadająca promieniowi kolistej orbity r.

Rezultat uzyskany przez Bohra zaszokował ówczesna społeczność fizyków: energia jest kwantowana, orbity elektronów są kwantowane, falowe własności elektronu są odpowiedzialne za kwantowanie elektronowych orbit, elektron w atomie porusza się wokół jądra po kołowej orbicie - na podobieństwo planet okrążających słońce. Taki to był początek kwantowej zagadki i kołowego (błędnego !!!) modelu atomu. W tym miejscu można postawić pytanie: jak to może być, że błędne założenie dotyczące kształtu elektronowej orbity mogło doprowadzić do prawidłowego odtworzenia układu poziomów energetycznych atomu? Odpowiedź na to pytanie już kilka lat później dał, de facto, A. Sommerfeld, kiedy sformułował on słynne kwantowe reguły w postaci całek liniowych, w szczególności takich jak ta dana równaniem (1). Z ogólnie sformułowanych reguł kwantowych wynikało, że

widmo poziomów energetycznych atomu nie zależy, w pierwszym przybliżeniu, od kształtu eliptycznej orbity.

Zależność od kształtu eliptycznej orbity ujawnia się wówczas, kiedy to promieniujący atom zostaje umieszczony bądź to w polu elektrycznym bądź to w polu magnetycznym (Stark i Zeeman). I aczkolwiek tak z eksperymentów Starka jak i z eksperymentów Zeemana wynikało, że moment pędu elektronu w stanie podstawowym jest równy zeru, błędny, kołowy model atomu funkcjonuje aż do dziś, tak w popularno naukowych wydawnictwach jak i w literaturze naukowej. Odkładając dyskusje odnośnie modelu atomu na później, będzie to temat następnego wykładu, teraz z koncentrujemy się na kwantowej zagadce. Podejmując problem musimy mieć na uwadze ten eksperymentalny fakt, że okres ruchu elektronu na eliptycznej orbicie jest o kilka rzędów, a 2 !!! , mniejszy niż czas emisji fotonu. Fakt ten implikuje, że siły modyfikujące ruch elektronu w procesie emisji fotonu są o kilka rzędów mniejsze niż siła Kulomba, a przeto analiza reguł kwantowych może być prowadzona na gruncie rachunku zaburzeń sformułowanego przez Gaussa, dla opisu powolnych zmian naszego układu słonecznego.

Małe zaburzenia w problemie Keplera. W zasadzie równania ruchu dla elektronu poruszającego się w Kulombowskim polu jądra i równania dla planet poruszających się w polu grawitacyjnym słońca są identyczne, a przeto, rozważania dotyczące ewolucji pod wpływem niewielkich sil zaburzających będą w obu przypadkach identyczne. Oznaczmy przez df. sile zaburzającą. W takim przypadku, równanie różniczkowe opisujące ruch elektronu będzie miało postać:
 
(8)
 
 
Mnożąc obie strony tego równania skalarnie przez prędkość v otrzymamy następującą relację:
 
(9)
 
 
która z uwagi na to, że wyrażenie w nawiasie reprezentuje stała ruchu w problemie Keplera może być potraktowane jako równanie opisujące ewolucje stałej W reprezentującej całkowitą energię układu:
 
(10)
 
 
W podobny sposób, mnożąc obie strony równania Keplera przez ( x r ) otrzymamy równanie opisujące ewolucje innej stale Keplera, jaką jest moment pędu L:
 
(11)
 
 
Mnożąc zaś wyjściowe równanie (8) przez ( x L ) otrzymujemy równanie różniczkowe opisujące ewolucje trzeciej stałej ruchu w problemie Keplera, jaka jest mimośrodowy wektor ' skierowany od jądra do pericentrum eliptycznej orbity:
 
(12)
 
 
Jeżeli siła zaburzająca d f jest istotnie mniejsza niż siła Kulomba, wtedy wszystkie trzy stale ruchu problemu Keplera występujące w prawych stronach powyższych równań mogą być potraktowane jako wielkości stałe i dla niezbyt długich odcinków czasowych otrzymujemy układ trzech równań różniczkowych opisujących powolne ewolucje quasi eliptycznej orbity w przestrzeni:
 
(13)
 
(14)
 
(15)
 
gdzie v i r dreprezentują nie zaburzony ruch elektronu na Keplerowskiej orbicie.

Teraz, aby zilustrować jak pracuje metoda zaburzeń i pokazać jak daleko może sięgać analogia pomiędzy ruchem elektronu w atomie, a ruchem wielkich obiektów makroskopowych rozpatrzymy dwa proste problemy z kosmicznej astronautyki.

Satelita hamowany siłami tarcia. Ziemski satelita poruszający się w rozrzedzonej atmosferze Ziemi jest hamowany siła, która jest w pierwszym przybliżeniu proporcjonalna do szybkości satelity. Tak więc:
 
(16)
d f = - k v .
 
 
Wprowadzając określoną powyżej silę do równania (13) otrzymujemy następujące równanie różniczkowe opisujące zmiany stałej ruchu W :
 
(17)
d W / d t = 2 k / m W
 
 
W wyniku całkowania otrzymujemy:
 
(18a)
W = W 0 e (2k / m) t .
 
 
Analogiczne rachunki przeprowadzone dla momentu pędu L prowadzą do zależności:
 
(18b)
L = L 0 e (2k / m) t .
 
 
Wstawiając te ewoluujące w czasie wielkości do równań definiujących wielkość dużej pół-osi elipsy a i jej mimośród ' otrzymujemy:
 
(19a)
a = a 0 e - (2k / m) t ,
 
gdzie a 0 to początkowy rozmiar orbity satelity, oraz
 
 
(19b)
' = const = ' 0 .
 
 
Tak więc, przy sile zaburzającej określonej zależnością (16) liniowe rozmiary eliptycznej orbity ulęgają zmniejszeniu podczas, gdy kształt elipsy, jej mimośród, pozostają niezmienne. Aczkolwiek oba zbiory rozwiązań - (18a),(18b) i (19a),(19b) - są całkowicie ekwiwalentne, to ich praktyczne zastosowanie dotyczy całkowicie odmiennych obszarów. Pierwsze z nich, jako reguła, jest stosowane w fizyce atomowej, jako że nie mamy możliwości śledzenia lotu elektronu krążącego wokół jądra, podczas gdy drugie z nich, z reguły stosowane jest w nawigacji satelitarnej.

"Kwantowane" orbity satelity z periodycznie pracującymi silnikami. Załóżmy teraz, że satelita jest wyposażony w silnik, który periodycznie przyspiesza i spowalnia satelitę. Silnik ten pracuje przy tym tak, że siła, która periodycznie zmienia szybkość satelity zmienia się według formuły:
 
(20)
d f = f (r) v sin y (t) ,
 
 
przy czym y zależy od czasu pośrednio poprzez szybkość satelity w sposób następujący:
 
(21)
d y / d t ~ v 2 .
 
Ponieważ silnik raz przyspiesza satelitę, a raz go spowalnia, to można sądzić, że istnieje taka sytuacja kiedy to globalny efekt działania silnika będzie zerowy. Spróbujmy znaleźć warunki, przy jakich duża oś elipsy zdefiniowana przez energie wiązania W nie będzie zmieniać swoich rozmiarów. Jak wynika z równania (13) energia wiązania W może być wielkością stałą, o ile:
 
(22)
 
 
gdzie t = 0 określa moment przechodzenia satelity przez dużą oś eliptycznej orbity satelity. Ponieważ, tak odległość r jak i szybkość satelity v są symetryczne względem dużej osi orbity, zatem, wartość powyższej całki będzie równa zeru o ile będzie spełniona zależność:
 
(23)
y ( t ) = - y (- t ) ,
 
 
a to oznacza że funkcja y ( t ) musi spełniać warunek:
 
(24)
y ( 0 ) = 0     and     y ( 1/2 T ) = n p ,
 
 
gdzie n jest liczbą całkowitą. Powyższy warunek nałożony na równanie różniczkowe (21) i odniesione do satelity o masie m poruszającego się w polu grawitacyjnym Ziemi o masie M przyjmie postać:
 
(25)
 
 
Przeprowadzając całkowanie otrzymujemy zależność identyczną z Bohrowską regułą kwantowania
 
(26)
W n = - W 0 / n 2 .
 
 
Tak więc, istnieje dyskretny zbiór stacjonarnych orbit, na których satelita z periodycznie funkcjonującymi silnikami będzie pozostawać nieskończenie długo. Jeżeli obserwator nie wiedział by, że satelita jest wyposażony w periodycznie działające silniki byłby zdumiony dlaczego orbity satelity są "kwantowane".

Translacyjna precesja. Próbując rozszyfrować dynamikę kryjąca się za kwantową całką (1) zapiszmy tą całkę w nieco zmienionej postaci:
 
(27)
 
 
Formalnie, dla powyższej całki możemy napisać różniczkowy ekwiwalent:
 
(28)
 
 
Ponieważ na prawej stronie tego równanie mamy wielkość reprezentująca energię kinetyczną elektronu, a stalą Plancka reprezentuje moment kinetyczny wirującego ciała, to człon d n/d t musi reprezentować szybkość kątową. Tak więc, powyższe równanie możemy zapisać w sposób następujący:
 
(29)
 
 
Z powyższego wynika, że symbol h w kwantowej regule (1) reprezentuje spin elektronu, zaś n całkowitą liczbę obrotów spinowej osi elektronu. Oznaczając kąt opisujący ruch obrotowy spinowej osi przez y, powyższe równanie może być zapisane w następującej postaci:
 
(30)
d y / d l = m v / h ,
 
 
gdzie dl represents the element of the path traveled by the electron with a speed v. reprezentuje odcinek drogi pokonywanej przez elektron o szybkości v. Tak więc,

translacjom elektronu towarzyszy precesja jego spinowej osi.

Z powyższego wynika ponadto, że długość fali de Broglie'a to odcinek drogi, na którym oś spinowa obraca się o 2 p:
 
(31)
 
 
Jeżeli elektron porusza się ze stałą szybkością wtedy otrzymujemy słynną relacje de Broglie'a:
 
(32)
l = h / m v .
 
 
Identyfikacja liczbowego czynnika w z ruchem osi spinowej elektronu ma ogromny filozoficzny aspekt. Jak wynika z powyższej analizy kwantowa całka definiuje warunki przy, których obracająca się oś spinowa elektronu w trakcie jednego okrążenia wykona całkowita liczbę obrotów. Tak, ale w dalszym ciągu nie wiemy, dlaczego?

"Falowe" pole elektronu. Rozszyfrowanie fizycznego sensu całkowitej liczby n występującej w regułach kwantowych, a w zwłaszcza odkrycie zjawiska translacyjnej precesji otworzyło drogę do zidentyfikowania dynamiki kryjącej się za zjawiskiem kwantowania. Tak więc biorąc pod uwagę że z momentem kinetycznym elektronu jest sprzężone spinowe pole magnetyczne, które reprezentuje moment magnetyczny m, na podstawie Amperowsko-Faradayowskiej elektrodynamiki dochodzimy do wniosku, że poruszający się elektron posiada okresowo zmienną składową pola elektrycznego o postaci określonej poniżej:
 
(33)
E s = - 1 / c [ ( dm / d t x r ) / r 3 ] ,
 
 
gdzie
 
(34)
d m / d t = m w ,
 
 
i
 
(35)
w = 2 E kin / ( h / 2 p ) .
 
 
Przeto więc, pole elektryczne poruszającego się elektronu ma w rzeczywistości postać następującą:
 
(36)
 
 
gdzie s (t) jest określone poprzez spinowo translacyjna relację daną równaniem (30). Całkując równania ruchu Newtona dla precesującego elektronu można pokazać, ze "falowy" człon pola elektrycznego elektronu jest odpowiedzialny, tak za zjawisko "dyfrakcji", o czym mówiliśmy w poprzednim wykładzie , jak i za kwantowanie orbit elektronowych w atomie, o czym właśnie mówiliśmy. Można łatwo pokazać, że:
 
(37)
d W = E sd l = 0 ,
 
 
o ile tylko
 
(38)
W n = W 0 / n 2 .
 
 
Z całych powyższych wywodów wynika, że E s określone poprzez równania (33),(34) i (35) jest polem "falowym" elektronu, jakiego de Broglie uparcie szukał aż do ostatnich dni swojego życia.
 
  Powrót