ЛЕКЦИЯ
15 ноября 2002
 
 
КВАНТОВАНИЕ.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ B ПРОБЛЕМЕ КЕПЛЕРА.
                     
 
Максвелл виновен - Ньютон наказан. Загадка корпускулярно-волнового дуализма, решение которой я представил в предыдущей лекции, была главным основанием для отхода от детерминистских представлений классической физики и введения туманного формализма Квантовой механики, которая появилась в начале ХХ столетия. Другой загадкой, которая дала начало Квантовой механике и которая закончилась отказом от представления о локализованном электроне, было противоречие между максвелловской теорией излучения и очевидной стабильностью атома. Согласно максвелловской теории, электрон, движущийся в кулоновском поле ядра, излучает электромагнитную энергию и в результате должен упасть на ядро. Однако физики, исследуя богатый спектроскопический материал, пришли к заключению, что
 
 
в некоторых специфических условиях атомный электрон не излучает.
 
 
Они открыли правила (Бор, Зоммерфельд) - нaзвaнныe правилами квантования, специфические условия, при которых электрон, движущийся по заданной орбите в атоме, молекуле или в кристаллической решетке, не испускает электромагнитного излучения. Одно из главных правил специфического состояния электрона без излучения имеет вид:
 
(1)
p(l) dl = nh,    n = 1, 2, 3, ... ,
 
 
где h постоянная Планка, p импульс движущегося электрона, а кружок у интеграла указывает, что он вычисляется по замкнутому контуру по всей замкнутой орбите электрона.

Хотя различные правила квантования успешно использовались в течение многих лет, предпринятые попытки идентифицировать динамику, скрывающуюся за этими правилами, остались без успеха.

В последствии расстроенные физики усомнились в применимости ньютоновской динамики к описанию атомных систем, однако, дело было в максвелловской теории излучения, которая потерпела неудачу в описании излучения фотона атомом.

Таким образом, на основе по сути своей фальшивого аргумента динамика Ньютона была исключена из атомной теории и концепция локализованного электрона была полностью убрана из атомной физики. Правила квантования были заменены уравнением Шредингера и теоретическое рассмотрение было, в принципе, ограничено глобальными характеристиками атома без какого-либо призыва к определению траектории электрона. Дискретный спектр главного квантового числа n старой квантовой теории был заменен дискретным спектром периодического решения, представленного переменной y волнового уравнения квантовой теории, имеются основания считать, что n и y могут быть формально связаны следующим образом:
 
(2)
 

Линейчатый спектр атомарного водорода – начало квантовой загадки.
Чтобы устранить видимое на самом деле противоречие между Классической теорией и Квантовой механикой, мы должны иметь в виду, что квантовые рассуждения, как правило, касаются энергии и углового момента – величин, которые в классической динамике стоят в начале всей процедуры расчетов, так как они определяют начальные условия для уравнений движения электрона. Имея в виду вышесказанное, можно сформулировать тезис:

Классическая динамика и Квантовая механика представляют две дополнительные процедуры атомной теории.

Этот довольно неожиданный тезис, однако, находит подтверждение в том факте, что правила квантования старой квантовой теории были сформулированы в рамках классического представления о локализованном электроне. Более того, некоторое время назад, в 1968 году, советским физиком Четаевым было показано, что дифференциальное уравнение, описывающее стабильность механических систем при наличии периодических возмущений, может иметь, если только возмущения удовлетворяют некоторым специфическим условиям, форму уравнения Шредингера. Итак, орбитальное движение электрона определяется уравнениями классической механики, в то время как квантовые соотношения описывают условия стационарного движения при наличии некоторых, не определенных еще в данный момент, периодических возмущений. Можно предположить, что эти возмущения могут иметь начало в спиновых свойствах электрона, так как правила квантования неотъемлемо связаны с планковской константой h.

Теперь мы попытаемся расшифровать динамику, стоящую за квантовым формализмом, чтобы показать совершенно искусственную природу квантово-классического противоречия. Поднимая эту задачу, давайте вернемся назад, к тому моменту на заре атомной спектроскопии, когда родилась квантовая головоломка.

Бальмер, де Бройль и Бор – рождение квантовой головоломки. Квантовая головоломка берет свое начало в открытии Бальмера, это значит в числовом правиле описывающем дискретный спектр света, испущенного атомами водорода. Открытое правило имеет вид:
 
(3)
v nm = v 0 (1/n 2 - 1/m 2) ,    n = 1, 2, 3, ...m > n ,
 
 
где v 0 представляет собой экстраполированный предел наблюдаемого спектра.

Бор, умножив обе стороны бальмеровской формулы на константу Планка h , соединил друг с другом две принципиально разные вещи: фотон, испущенный атомом, и атом, который излучил этот фотон. Таким образом энергия фотона h v n m была отнесена к переходу атома из некоторого энергетического состояния W m в другое энергетическое состояние W n:
 
(4)
h v nm = W n - W m .
 
 
Таким образом, дискретный спектр света имеет начало в дискретном спектре состояний атомной энергии:
 
(5)
W n = W 0 / n 2       and       W m = W 0 / m 2 .
 
 
Наблюдавшийся предел спектральной серии, h v 0, соответствует самому нижнему, основному энергетическому состоянию атома W 0, которое представляет конечную стадию выделения излучения атомом.

Когда энергия основного состояния атома оказалась равной энергии связи электрона в атоме, измеренной в процессе ионизации,
 
(6)
W 0 = 13.6 eV ,
 
 
Бор мог интерпретировать дискретный спектр уровней атомной энергии на языке уровней энергии электрона – остановок, которые делает электрон в течение испускания излучения атомом. При предположении, что электрон есть точка подобная частице, движущейся по законам классической динамики в кулоновском поле ядра, он мог связать дискретный спектр уровней энергии с размерами эллиптической орбиты электрона. Принимая во внимание хорошо известное соотношение задачи Кеплера:
 
 
a = Z e 2 / 2 W ,
 
 
где a большая полуось эллипса и W энергия связи электрона, он смог вычислить размеры атома. Для атома в основном энергетическом состоянии он получил:
 
 
a = Z e 2 / 2 W 0 = 0,538 • 10 -8 cm .
 
 
Хотя Бор вычислил фактически длину большой полуоси эллипса, она была названа радиусом Бора, поскольку он произвольно сделал предположение (совершенно ошибочное!!!), что орбита электрона - окружность (на самом деле электрон остается на орбите свободного падения с нулевым угловым моментом, что мы покажем в следующей лекции). Случайно ошибочное предположение о форме орбиты электронадало ему возможность сделать одно из самых важных открытий атомной физики:

Бор открыл, что для дискретного спектра энергетических уровней атомной спектроскопии имеет место следующее соотношение:
 
(7)
n l = 2 p r ,     - начало квантовой головоломки,
 
 
где l - дебройлевская длина волны электрона, движущегося со скоростью, соответствующей радиусу круговой орбиты r.

Результат, полученный Бором, шокировал сообщество физиков: энергия квантована, электронные орбиты в атоме квантованы, волновые свойства электрона ответственны за квантование, электрон движется вокруг ядра по круговой орбите – подобно планете вокруг Солнца. Это было начало квантовой головоломки и круговой (ошибочной!!!) модели атома. Здесь можно задать вопрос: как это ошибочное предположение о форме электронной орбиты смогло в результате дать правильный спектр атомных энергетических уровней? Ответ в действительности был дан А.Зоммерфельдом, спустя несколько лет, когда он сформулировал эти знаменитые правила квантования подобные правилу, заданному уравнением (1).

Он показал, что спектр атомных энергетических уровней не зависит, в первом приближении, от формы эллиптической орбиты.

Зависимость спектра от эксцентриситета эллиптической орбиты может быть замечена, когда атом помещен в электрическое или магнитное поле (Штарк и Зееман). Несмотря на тот факт, что уже Штарк и Зееман показали, что угловой момент электрона в основном энергетическом состоянии равен нулю, ошибочная круговая модель атома все еще представляется в популярной также, как и в научной, литературе. Оставляя обсуждение разногласий в проблеме модели атома на дальнейшее, это будет темой следующих лекций, мы ограничимся в настоящий момент поиском решения квантовой головоломки.

Поднимая эту проблему, мы должны иметь в виду экспериментальный факт: период движения электрона на орбите намного короче, на неcколько порядков - на a 2 !!!, чем время излучения фотона атомом. Это означает, что в течение процесса излучения силы, влияющие на орбитальное движение электрона, намного меньше, чем кулоновские силы, и, следовательно, анализ правил квантования может быть проведен на основе исчисления возмущений, развитого Гауссом для анализа эволюции нашей Солнечной системы.

Малые возмущения в задаче Кеплера. В принципе, уравнения движения для электрона, движущегося в  кулоновском поле ядра, и для планеты, движущейся в гравитационном поле Солнца, идентичны и, следовательно, толкование эволюции системы при наличии возмущающих сил идентично. Обозначим силу возмущения через df. В таком случае дифференциальное уравнение, описывающее движение электрона имеет вид:
 
(8)
 
 
Умножая обе стороны этого уравнения (8) на v , мы получим следующее соотношение:
 
(9)
 
 
которое в виду того факта, что член внутри скобок представляет собой инвариант движения в задаче Кеплера, может быть записано как дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию рассматривающегося инварианта движения во времени:
 
(10)
 
 
Подобным образом, умножая обе стороны уравнения (8) на ( x r ) , мы приходим к дифференциальному уравнению, описывающему эволюцию углового момента, второго инварианта движения в задаче Кеплера:
 
(11)
 
 
Умножая уравнение (8) на ( x L ) - угловой момент, мы получаем дифференциальное уравнение третьего инварианта движения, которым является эксцентриситuчecкий вектор ', направленный от ядра к перигей эллипса:
 
(12)
 
 
Если сила d f намного меньше, чем кулоновская сила, тогда три инварианта движения W, L, ' в правых частях трех уравнений, приведенных выше, могут быть рассмотрены как постоянные и для не слишком больших интервалов времени мы получаем набор трех дифференциальных уравнений, описывающих медленную эволюцию орбиты Кеплера в пространстве:
 
(13)
 
(14)
 
(15)
 
Где v и r описывают невозмущенное движение электрона на орбите Кeплера.

Теперь, чтобы проиллюстрировать, как работает метод возмущений, и показать, что между движением электона в атоме и движением большого макроскопического объекта может существовать далеко идущая аналогия, мы рассмотрим две простые задачи астронавтики.

Спутник, замедляющийся из-за силы трения. Спутник, движущийся в разряженной атмосфере Земли, замедляется некоторой силой, которая в первом приближении пропорциональна скорости спутника. Таким образом,
 
(16)
d f = - k v .
 
 
Вводя эту силу в уравнение (3), приходим к следующему дифференциальному уравнению для инваринта движения W:
 
(17)
d W / d t = 2 k / m W ,
 
 
которое после интегрирования дает:
 
(18a)
W = W 0 e (2k / m) t .
 
 
В результате аналогичных вычислений, выполненных для углового момента L, мы получаем:
 
(18b)
L = L 0 e (2k / m) t .
 
 
Вводя эти, развивающиеся во времени, величины в уравнения, определяющие большую полуось a и эксцентриситет ' эллипса, можно получить:
 
(19a)
a = a 0 e - (2k / m) t ,
 
(19b)
' = const = ' 0 .
 
 
Таким образом, при такой возмущающей силе, как задано уравнением (16), линейные размеры эллиптической орбиты уменьшаются с течением времени, в то время как форма эллипса остается неизменной - (18a), (18b) и (19a), (19б) - по сути эквивалентны друг другу, их практическое использование весьма различно. Первый набор, как правило, используется в атомной физике, так как мы не имеем возможности следить за движением электрона вокруг ядра, в то время как второй, как правило, используется в спутниковой навигации.

"Квантованные" орбиты спутника с периодически работающим двигателем. Предположим теперь, что на спутнике имеется двигатель, который периодически ускоряет или тормозит спутник. Двигатель работает таким образом, что сила, которая периодически меняет скорость спутника, определяется формулой:
 
(20)
d f = f (r) v sin y (t) ,
 
 
и y зависит неявно от времени следующим образом:
 
(21)
d y / d t ~ v 2 .
 
Так как двигатель в течение некоторого времени ускоряет, а в течение некоторого времени тормозит спутник, можно ожидать, что должна иметься ситуация, когда полный эффект от работы двигателя равен нулю. Попытаемся найти, например, условия, при которых главная ось орбиты, определяющаяся в задаче Кеплера энергией связи W, остается постоянной. Как это следует из уравнения (13), W может быть постоянной при:
 
(22)
 
 
где t = 0 есть некоторый момент времени, когда спутник пересекает большую ось эллиптической орбиты. Так как расстояние r, также, как и скорость спутника v , симметрично по отношению к большой оси эллипса, то значение вышеупомянутого интеграла будет равно нулю, если:
 
(23)
y ( t ) = - y (- t ) ,
 
 
и это означает, что y ( t ) должно удовлетворять критерию
 
(24)
y ( 0 ) = 0     и     y ( 1/2 T ) = n p ,
 
 
где n - целое число. Вышеприведенное необходимое условие, наложенное на дифференциальное уравнение (19) и примененное для случая спутника массы m и движущегося в гравитационном поле Земли с массoй M дает:
 
(25)
 
 
где G - это гравитационнaя поcтoяннaя. Выполняя интегрирование, можно получить зависимость, идентичную боровскому соотношению квантования:
 
(26)
W n = - W 0 / n 2 .
 
 
Таким образом, имеется дискретный набор стационарных орбит, на которых спутник с периодически работающим двигателем может оставаться бесконечно долго. Если наблюдатель не знал бы, что спутник имеет периодически работающий двигатель, он был бы удивлен, поскольку орбиты спутника оказываются "квантованными".

Трансляционная прецессия. Пытаясь расшифровать динамику, скрывающуюся за правилом квантования орбит (1), запишем этот интеграл в альтернативной форме:
 
(27)
 
 
Формально для интеграла, данного выше, мы можем записать следующий дифференциальный эквивалент:
 
(28)
 
 
Так как с левой стороны вышеприведенного уравнения стоит кинетическая энергия, а планковская константа h представляет импульс вращающегося тела, то, следовательно, член d n/d t должен представлять угловую скорость. Таким образом, уравнение, приведенное выше, может быть записано следующим образом:
 
(29)
E kin = w h / 4 p .
 
 
Из сказанного выше следует, что h в правиле квантования орбит представляет спин электрона и n есть полное число оборотов спиновой оси электрона.

Обозначая угол, описывающий вращение спиновой оси электрона через y, вышеприведенное уравнение может быть записано следующим образом:
 
(30)
d y / d l = m v / h ,
 
 
где dl представляет элемент пути, проходимого электроном со скоростью v Таким образом,

перемещение, трансляция, электрона сопровождается прецессией спиновой оси.

Из сказанного выше следует, что длина волны де Бройля есть расстояние, на котором спиновая ось электрона поворачивается на 2 p:
 
(31)
 
 
Если электрон движется с постоянной скоростью, тогда мы получаем знаменитое соотношение де Бройля:
 
(32)
l = h / m v .
 
 
Отождествление фактора частоты w с движением спиновой оси имеет огромное значение в философском аспекте. Как следует из всего анализа, квантовый интеграл определяет условия, при которых вращение спиновой оси электрона при обходе орбиты выполняет полное число оборотов. Но мы еще не знаем – почему?

"Волновое" поле электрона. Расшифровка физического смысла целого числа n, фигурирующего в правилах квантования, и, в частности, обнаружение трансляционной прецессии спина открыли путь к идентификации динамики, скрывающейся за явлением квантования. Принимая во внимание, что с импульсом электрона связано спиновое магнитное поле, представленное магнитным моментом m, на основе электродинамики Ампера-Фарадея мы приходим к заключению, что движущийся электрон имеет периодически изменяющуюся составляющую электрического поля, приведенную ниже:
 
(33)
E s = - 1 / c [ ( dm / d t x r ) / r 3 ] ,
 
 
где
 
(34)
d m / d t = m w ,
 
 
и
 
(35)
w = 2 E kin / ( h / 2 p ) .
 
 
Таким образом, электрическое поле движущегося электрона имеет в действительности следующую форму:
 
(36)
 
 
где s (t) определяется спиновым трансляционным соотношением, заданным уравнением (30). Решая ньютоновское уравнение движения для вращающегося электрона, можно показать, что "волновой" член электрического поля электрона ответственен за явления "дифракции", которые мы обсудили в первой лекции также, как только что мы рассмотрели квантование электронных орбит в атоме. Можно легко сделать вывод, что:
 
(37)
d W = E sd l = 0 ,
 
 
если только
 
(38)
W n = W 0 / n 2 .
 
 
Из сказанного выше следует, что электрическое поле E s заданное набором соотношений (33), (34) и (35), может быть рассмотрено как "волновое" поле электрона, которое де Бройль искал до последних дней своей жизни.
 
  Boзbpaт