ЛЕКЦИЯ
20.12.2002
СТОЛКНОВЕНИЯ -
ГЛАВНЫБ ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ О МИКРОМИРЕ.
                     
 
Хотя любое физическое измерение содержит, в более или менее сокрытом виде, информацию о свойствах микромира, имеется три главных источника информации о структуре атомов и молекул:
 
 
- механические и электромагнитные измерения,
- атомная и молекулярная спектроскопия,
- атомные столкновения. дае
 
Дж. Дж. Томсон
и
Э. Резерфорд
начало теории
атомных столкновений.


М. Борн -
теория столкновений
на ложном пути.


М.Г.
Невероятно!
В середине ХХ века задача столкновения двух тел еще не решена!
Среди этих трех источников информации атомные столкновения снабжают нас самой прямой, однако, закодированной информацией о поведении атомных электронов. Чтобы раскодировать информацию, сокрытую в экспериментальных данных, мы должны иметь должным образом развитый теоретический формализм. Первый шаг в направлении декодирования сокрытой информации о внутренней структуре атома был сделан Дж. Дж. Томсоном и Э. Резерфордом: первый показал, что электрон есть универсальный компонент вещества, а второй - что атом содержит тяжелое точечное ядро. К сожалению, на основе ложных по сути своей аргументов, я говорил об этом в предыдущей лекции, плодотворные исследования были внезапно остановлены только что родившейся Квантовой механикой. Рассмотрения, основанные на ньютоновской динамике, оперирующие понятием локализованного электрона, исчезли из атомной физики, а интерпретация экспериментов по атомным столкновениям была ограничена поиском лишенных смысла формальных соотношений, воспроизводящих экспериментальные данные. В 1958 году мною было показано, что отход от ньютоновской динамики и представления о локализованном электроне был, по крайней мере, слишком преждевременным. Теперь я представлю существенные элементы строго определенной теории атомных столкновений, развитой на основе строгого решения классической задачи двух тел - теории, которая дала мне возможность проследить движение электронов в атоме. Хотя формализм для описания столкновения двух тел берет начало в работах Дж. Дж. Томсона и Э. Резерфорда, ключевые элементы этого формализма были сформулированы только в конце пятидесятых - начале шестидесятых годов прошлого столетия. Только в то время в серии работ, опубликованных мной в Physical Rewiev (Phys. Rev. 1959, 1965a, 1965b, 1965c), был дан полный набор соотношений, строго описывающих задачу столкновения двух тел, сформулированную в лабораторной системе отсчета. В этой лекции я представлю схему метода фундаментального исследования микромира.
 
 
 
Рис. 1. Показана сущность экспериментов по атомным столкновениям. Макроскопически измеряемая связь между начальным и конечным кинематическими состояниями частиц, направляющихся из ускорителя, определяется микроскопическим взаимодействием в области столкновения. Это задача теории – вычислить по макроскопическим измерениям поведение частиц в микроскопической области. К сожалению, пагубная догма физики двадцатого века, что микроскопическая частица не может иметь ни определенного положения, ни определенного импульса, за несколько десятилетий полностью исключила поиск причинных отношений между макромиром и микромиром.
 
Фотон,
электрон и протон
- фундаментальные переносчики
информации во всей Вселенной
Столкновения - измерения на границе микромира. Чтобы получить информацию о свойствах и поведении физического объекта, мы должны иметь надлежащую зондирующую систему. Изменение состояния зондирующей системы, которое происходит в результате взаимодействия с исследуемым объектом, является мерой свойств объекта.

Существование взаимодействия между исследуемым объектом и зондирующей системой означает, что любое наблюдение может быть проведено только с ограниченной точностью.

Самыми чувствительными, относительно компактными и стабильными элементами материи, созданными Природой, которые в существующем мире обычно используются для зондирования материальных объектов, являются фотоны, которые вместе с электроном и протоном, двумя самыми малыми стабильными частичками вещества, находятся в основе наблюдения систем атомного мира.

Возмущениями, вызванными зондирующими корпускулами: фотонами, электронами, протонами, - можно пренебречь пока наблюдаются массивные объекты. В таком случае продолжительным освещением исследуемого объекта зондирующим пучком может быть точно зафиксирована вся его история. Ситуация становится совершенно другой, когда исследуемый объекст имеет микроскопические размеры. Тогда нет качественной разницы между зондирующей частицей и исследуемым объектом и любой тестирующий акт (столкновение между объектом-мишенью и зондирующей частицей) заканчивается ощутимым изменением кинематического состояния обеих частиц.

Это означает, что

исследование атомных объектов может быть проведено только способом, аналогичным материально деструктивному исследованию

(большое число идентичных объектов должно быть разрушено, чтобы получить достаточно хорошее знание об их структуре и свойствах). Здесь следует подчеркнуть, что на атомном уровне дискуссии о не деструктивных измерениях полностью лишены смысла.

Поскольку зондирующие корпускулы могут быть направлены к атомным объектам только с макроскопической точностью, а последняя определяется точностью, с которой могут быть изготовлены экспериментальные средства, производящие пучок зондирующих частиц, исследования атомного объекта не могут быть выполнены систематическим образом. Мы не имеем возможности проконтролировать, точку за точкой, отдельные фрагменты исследуемого объекта.

Статистическая связь между начальным и конечным состояниями зондирующих частиц, возникающая из-за хаотического освещения объекта-мишени, - единственно возможная форма получения информации о внутренней структуре микроскопических объектов.

Поперечное сечение. Статистическая связь между макромиром и микромиром. Направляя большое число зондирующих частиц (электроны, протоны) на мишень, содержащую огромное число исследуемых микроскопических объектов, ничего нельзя сказать о траектории заданной индивидуальной частицы внутри мишени - это, фактически, "черный ящик". Наблюдаемое изменение направления движения и изменение скорости зондирующей частицы являются единственной информацией о том, что происходит на микроскопической шкале. На макроскопической шкале имеются три пункта, которые определяют столкновение: выход из ускорителя, мишень и детектор.

На микроскопической шкале столкновение с точечным объектом определяется:
- расстоянием D (прицельное расстояние), на котором зондирующая частица проследовала бы мимо частицы-мишени, если бы они не взаимодействовали,
- азимутальным углом Q определяющим ориентацию элемента падающего пучка частиц в плоскости ортогональной вектору относительной скорости.

Макроскопическое наблюдаемое изменение x- компоненты скорости частицы может быть символически записано следующим образом:
 
 
x (D v ) = fxFL ( начальные условия:: v a , v b ; D, Q ) ,
 
 
где fxFL представляет результат теоретических вычислений, проведенных для данного закона взаимодействия FL, при начальных условиях, определенных, с одной стороны, начальными скоростями v a и v b сталкивающихся частиц и двумя геометрическими переменными D и Q, с другой. Поскольку в макроскопическом эксперименте микроскопическая геометрия столкновений не может контролироваться, результат макроскопических измерений может иметь только статистический характер, возникающий из-за случайного элемента геометрических переменных D и Q. Однако случайный элемент <D, Q> можен быть через посредство закона взаимодействия FL, трансформирован в соответствующую этому закону экспериментально наблюдающуюся статистику < x (D v )>. Эта трансформационная процедура определяется интегралом:
 
(1)
 
 
где d (x) дельта-функция Дирака. Результат интегрирования представляет собой сумму тех поверхностных элементов всей бесконечной плоскости D - Q для которых аргумент дельта d-функции равен нулю. Величина s x которая соотносит случайный микроскопический элемент <D, Q> с измеряемой статистикой x (D v ), называется поперечным сечением. Поперечное сечение представляет вероятность того, что в отдельном столкновении может наблюдаться данное изменение D v кинематического состояния рассматриваемой частицы.

Это есть первая задача теории столкновений - провести логический анализ экспериментальных данных и расшифровать закон взаимодействия FL , сокрытый в наблюдающейся статистике.

Если, однако, закон взаимодействия уже известен, тогда экспериментальные результаты могут быть источником информации о кинематическом состоянии частиц мишени. Таким образом, решая экспериментально-теоретическое тождество:
 
 
s xexp ( v b ) = s xtheor ( v a = ?, v b ) ,
 
 
относительно v a , например, мы можем определить скорость частиц мишени. Такая, комбинированная, экспериментально-теоретическая процедура формирует сущность исследования атомных столкновений. Чтобы проиллюстрировать этот метод, давайте рассмотрим историческое исследование Дж. Дж. Томсона и Э. Резерфорда с помощью данного выше точного определения поперечного сечения.

Э. Резерфорд. Атом имеет точечное ядро. Наблюдающееся Э. Марсденом распределение вспыхивающих точек на цинковом экране, производимых потоком a-частиц, пронизывающих тонкую металлическую фольгу, положило начало одному из самых важных открытий в атомной физике. Э. Резерфорд, чтобы объяснить случайно наблюдающиеся события больших углов рассеяния, предположил, что весь положительный заряд атома сконцентрирован в тяжелом точечном ядре. Решая ньютоновское уравнение движения для кулоновского взаимодействия, он нашел, что измеряемый в эксперименте угол J, угол между асимптотами гиперболической траектории, и невидимый параметр соударения D связаны следующим образом:
 
(2)
J = p - 2 arctg ( D E / Q q ) ,
 
где Q электрический заряд рассеивающего центра, а q электрический заряд рассеянной частицы, E ее кинетическая энергия.

В случае микроскопических частиц полученное соотношение между J и D, которое символически может быть записано следующим образом:
J = fJ (D), не может быть проверено в отдельном акте соударения, так как мы не имеем возможности контролировать движение частицы на пути к центру атома. Но оно может быть проверено статистически, так как для данного J = fJ (D) случайный элемент в D дает в результате хорошо определенную статистику угла J. Процедура преобразования случайного элемента в D в наблюдаемую статистику угла J , определяется следующим интегралом:
 
(3)
 
Поучительно посмотреть на квантовый путь к формуле Резерфорда.
Произведя интегрирование для J = fJ (D) как задано уравнением (1), можно получить знаменитую формулу Резерфорда:
 
(4)
sJРезерфорд = (Q q / E) 2 ( 1 + cos J ) / sin4 ( J / 2 )
 
 
Должное согласие между вычислениями и измерениями, см. рис. 2, было доказательством того, что Резерфорд был прав:

весь положительный электрический заряд атома сконцентрирован в тяжелом точечном ядре.
 
 
Рис. 2. Показаны экспериментальные и теоретические результаты в исторически первом эксперименте по рассеянию при атомном столкновении. Существование причинной связи между макроскопически наблюдаемой статистикой рассеянных частиц и находящимся вне контроля в эксперименте элементом случайности, связанным с прицельным расстоянием D дает возможность установить, что происходит в микроскопической области.
 
Тривиальная задача столкновения двух тел, которую Квантовая механика не в состоянии решить.
Дж. Дж. Томсон. Атом имеет точеченый электрон. Это - характерная черта рассеяния на фиксированном центре сил, что кинетическая энергия частицы до и после рассеяния одинакова и изменение направления движения есть единственный результат столкновения. Если, однако, вместо рассеивающего центра имеется частица конечной массы, процесс рассеяния всегда сопровождается некоторой передачей энергии. Частица-мишень, которая первоначально была в покое, после столкновения двигается с некоторой скоростью, принимая некоторое количество кинетической энергии частицы-снаряда. Количество энергии e переданное в столкновении двух частиц массы m a и m b, зависит от прицельного расстояния D следующим образом:
 
(5)
 
 
где E - начальная кинетическая энергия частицы-снаряда, а числовой множитель c имеет вид:
 
(6)
c = 4 m a m b / (m a + m b) 2 .
 
 
Вычисляя интеграл:
 
(7)
 
 
который преобразует случайный элемент прицельного параметра D в наблюдающуюся в эксперименте статистику переданной энергии e, получаем:
 
(8)
 
 
С помощью найденного поперечного сечения s e можно вычислить одно из самых важных поперечных сечений атомной физики. Вычисляя интеграл
 
(9)
 
 
мы получаем знаменитое поперечное сечение томсоновской ионизации, описывающее выведение электрона из атома быстрой заряженной частицей:
 
(10)
Q i = Z 2 s 0 / c E U i (1 - U i / c E ) ,
 
 
где U i - потенциал ионизации атома, Z представляет электрический заряд частицы-снаряда, а числовой коэффициент, если U i и E даны в эВ, имеет значение:
 
(11)
s 0 = p e 4 = 6.56 . 10-14 e V 2 см 2 .
 
 
Формула, приведенная выше, играла очень важную роль на заре атомной физики. Бомбардируя атомы электронами и наблюдая рождение свободных электрических зарядов в мишени, можно было прямо измерить энергии связей атомных электронов. Достаточно измерить пороговую энергию рождения положительно заряженных фрагментов рассматриваемого атома. Измеренные таким способом потенциалы ионизации приведены на рис. 3.
 
Ключевая информация об электронной структуре атома, полученная при помощи техники атомных столкновений.
 
Рис. 3. Потенциалы ионизации атомов, измеренные с помощью техники атомных столкновений и атомной спектроскопии. Далеко идущая корреляция между потенциалами ионизации и положением элемента в таблице Менделеева была труднооспоримым аргументом того, что в атоме должен существовать совершенный порядок.
 





Мы возвращаемся назад к строгим правилам динамики Ньютеона.

































М.Г.
классическая задача
столкновения двух тел решена!
Интересно отметить, что с помощью техники атомных столкновений Дж. Дж. Томсон пришел к нетривиальному для того времени заключению, что число электронов в атоме приблизительно равно половине массового числа атома.

Столкновение двух тел - гранитный постамент всей физики столкновений. Со времени Резерфорда стало ясно, что электроны в атоме не могут находиться в покое и формализм атомных столкновений должен принять во внимание кинетику движущихся электронов. Теоретический анализ столкновения с системой, содержащей некоторое число электронов, находящихся в непрерывном движении, является не легкой задачей. Эта проблема была поднята Бором уже в начале двадцатых годов ушедшего века, но существенный шаг к формулированию более точной теории атомных столкновений был сделан только несколько лет спустя, в 1927 году, когда Томас и Вильямс, используя статистическую модель атома Хартри-Фока, успешно описали потери энергии заряженных частиц, движущихся в газовой среде. К сожалению, с формулированием Квантовой механики, которая подвергла сомнению понятие локализованного электрона, плодотворные исследования, основанные на классический динамике, были полностью остановлены, а туманный формализм, введенный Борном, стал полностью доминировать в сообществе физиков.

Почти полвека назад, в 1957 году, я принял решение вернуться назад к образцовой концепции локализованного электрона, игнорируя ограничения квантовой философии и идя против главного течения исследований. Я был чрезвычайно удивлен, когда обнаружил, что фундаментальная проблема всей физики столкновений - столкновение между двумя элементарными частицами, взаимодействующими с помощью центральной силы, остается еще нерешенной, в то время как научные журналы полны подгоночных квантовых расчетов по атомным, ядерным и релятивистским столкновениям. Было великим удовлетворением вывести некоторые фундаментальные соотношения физики столкновений, среди прочих, распространяющихся на частицы произвольной массы и произвольной скорости, эквивалент формулы Резерфорда и эквивалент поперечного сечения s e томсоновского обмена энергией. Поперечное сечение, для которого Квантовая теория была не в состоянии сформулировать альтернативу, имеет вид:
 
(12)
 
 
где m a b - приведенная масса двух частиц, прибывающих из бесконечности с относительной скоростью V
 
Задача столкновения двух тел, решение которой лежит за пределами возможностей Квантовой теории.
V  =  v a - v b ,

и движущихся с полным импульсом P

P  =  p a + p b .

Единичная функция H(x ) определенная следующим образом:
 
 
H ( x ) =
 1      если      x > 0

 0      если      x < 0
 
 
где аргумент x задан формулой
 
(13)
 
 
определяет пределы возможной передачи энергии между сталкивающимися частицами. Две формулы, (12) и (13), данные выше, формируют существо современного классического формализма атомных столкновений. Строгое решение задачи столкновения двух тел дало мне возможность обнаружить одну из самых больших ошибок, сделанных на заре атомной физики, которая драматически повлияла на дальнейшее развитие всей физики. Теперь несколько слов о пути по направлению к историческому открытию.

М.Г. Атомные электроны находятся в радиальном движении свободного падения. Очевидно, что результаты столкновения заряженной частицы с атомом должны, более или менее, зависеть от поведения атомных электронов. Давайте рассмотрим, например, ионизацию атомов электронами. Соотношение пороговой энергии для выведения атомных электронов, связанных некоторой энергией U i , согласно (13), задается формулой:
 
(14)
E thr = U i ( E e - U i ) / ( E e sin 2 q - U i ) ,
 
 
где q - угол между векторами скорости ионизирующего электрона и атомного электрона прямо перед столкновением. В случае газообразной мишени атомы ориентированы в пространстве случайным образом и уголq может иметь любое значение между 0 и p. В таком случае минимальная энергия, необходимая для выведения атомного электрона, это есть случай, когда q = p / 2, точно равна потенциалу ионизации.

Ситуация будет, однако, совершенно иной, если масса ионизирующей частицы намного больше, чем масса электрона. Тогда пороговая энергия E thr = m ev 2 thr / 2, как это следует из уравнения (13), зависит от скорости атомного электрона v e , минимальна для лобового столкновения, т.е. для q = 0, и зависит от скорости электрона следующим образом:
 
(15)
2 m e v thr (v thr + v e ) = U i .
 
 
Если бы атомный электрон находился на круговой орбите, тогда скорость электрона была бы постоянной величиной, и, согласно вышеприведенному соотношению, существовал бы некоторый хорошо определенный порог для процесса ионизации. Однако эксперимент не подтверждает порога! Имеется только монотонное уменьшение числа продуцируемых ионов с уменьшением энергии частицы-снаряда, см. рис. 4.
 
 
Рис. 4. Поперечное сечение ионизации K-оболочки аргона протонами при очень низких энергиях, измеренное и вычисленное для атомных электронов с разными скоростями. Отсутствие порога было сильным свидетельством в пользу того, что электроны в атоме входят в область, близкую к ядру.
 
 
Отсутствие порога могло быть интерпретировано единственным образом:

Электроны в атоме движутся радиально по направлению к ядру.

Только в таком случае скорости электрона могут достигать высоких значений. Таким путем автор пришел в 1965 году к представлению об атомной модели свободного падения. Хотя отсутствие порога для ионизации атомов тяжелой заряженной частицей было довольно сильным аргументом, что электроны в атоме движутся по радиальным орбитам, была необходимость найти некоторые другие примеры, поддерживающие это важное заключение. Возможность дать точное доказательство радиального движения в атоме появилась тогда, когда Хелбиг и Эверхардт провели знаменитый эксперимент по захвату электрона протоном в лобовом столкновении с атомарным водородом. В этом случае процесс оказался чувствительным к форме орбиты электрона. Теперь результаты вычислений, которые были проведены на базе строго сформулированного математического алгоритма и сравнены с экспериментом, не оставили места для сомнения, что классическая динамика на атомном уровне работает и атомный электрон движется радиально к ядру.
 
 
Рис. 5. Сравнение измерений и точных численных вычислений задачи трех тел для захвата электрона в лобовом столкновении протона с атомами водорода. Измерения не оставляют места для сомнений, что электрон в атоме водорода движется по длинной радиальной траектории по направлению к ядру.
 
 
Чтобы показать, что радиальная кинетика есть характерная черта всех атомов, был вычислен и сравнен с экспериментом энергетический спектр электронов, выведенных протонами из атомов гелия. Вычисления были проведены для двух крайних форм коллективногодвижения двух электронов: для кругового движения и радиального движения. Сопоставление теории с экспериментом не оставляет никаких сомнений: электроны в атоме гелия движутся радиально.
 
 
Рис. 6. Представлены результаты теоретических вычислений для выведения электронов из атома гелия протонами для двух разных атомных моделей.
 
 
Если движение атомных электронов известно, то есть если начальные условия задачи столкновения известны, тогда любой эффект столкновения, производимый заряженной частицей-снарядом, может быть легко вычислен, по крайне мере численно решая ньютоновское уравнение движения для всех частиц, вовлеченных в столкновение. Результаты таких вычислений для столкновения протон (электрон) + атом водорода показаны ниже. Прекрасное согласие между теорией, лишенной какого-либо искусственного параметра в эксперименте, есть доказательство того, что вся теория корректна.
 
 
Рис. 7. Представлены результаты точного численного решения задачи трех тел для столкновения p ( e ) + H.
 
 
Квантовая теория столкновений - подгоняющая математика, претендующая на описание физической реальности. Загадка корпускулярно-волнового дуализма, я говорил об этом в первой лекции, привела физиков к безответственным спекуляциям. Самый разрушительный шаг был сделан Максом Борном, который совершенно искусственным образом применил шредингеровский формализм, имеющий место при анализе неизлучающих состояний связанного электрона, к качественно совершенно иному типу физических явлений. Чтобы приспособить волновой формализм к описанию свободного состояния электрона, Борн совершенно произвольно, нарушая фундаментальные законы физики - включающие законы сохранения энергии и импульса, связал посредством статистического толкования волновую пси-функцию с положением электрона в пространстве. Со временем борновская первоначально вероятностная интерпретация волновой функции эволюционировала в абстрактную квази-вероятностную интерпретацию, так как вероятностная интерпретация не могла противостоять физической реальности. В результате электрон был полностью лишен физического существования, а его дух, присутствующий в то же самое время во всем бесконечном объеме, мог быть возвращен к жизни с помощью акта наблюдения и мгновенно материализоваться в некоторой точке пространства. Трудно понять, как вся эта философия, введенная первоначально Борном, могла быть серьезно воспринята. Тем не менее, это было.

Чтобы показать фальшивые моменты в формализме Борна, давайте проследим, шаг за шагом, процедуру вычисления некоторой фундаментальной и в то же время самой простой задачи физики атомных столкновений. Это - рассеяние элементарной заряженной частицы на фиксированном центе сил. Чтобы получить резерфордовскую формулу рассеяния на основе классической динамики, необходимы два тривиальных шага: на первом нужно решить ньютоновское уравнение движения для кулоновского потенциала, чтобы располагать соотношением между прицельным расстоянием и углом рассеяния, см. соотношение (2), а на втором нужно вычислить элементарный интеграл, см. соотношение (3), чтобы трансформировать случайный элемент прицельного расстояния в наблюдающуюся интенсивность рассеянных частиц.

Теперь давайте посмотрим на процедуру вычисления, данную в одном из самых знаменитых академических учебников по Квантовой механике - в "Квантовой механике" Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица.

Первый шаг - это шаг, который находится в начале любой квантовой процедуры вычисления по рассеянию. Говорится, что пси-функция должна иметь следующую форму:
 
(16)
 
 
где первый член представляет собой падающую плоскую волну, а второй член - рассеянную сферическую волну. Первый член - подделка начальных условий задачи столкновения, поскольку в эксперименте не имеется падающей поской волны, а имеется ограниченный пучок частиц, движущихся к мишени. Второй член предвосхищает решение задачи, поскольку сферический поток рассеянных частиц есть уже результат взаимодействия с мишенью. Таким способом Квантовая механика пренебрегает фундаментальным вопросом задачи столкновения: что же происходит в «черном ящике», что частицы изменяют направление движения, проходя через него? В классической динамике это - закон взаимодействия, который дает эффект рассеяния : в эксперименте Юнга это - электрическое поле на границе щели, а в резерфордовской теории это - кулоновское поле ядра. Как объяснить изменение направления движения частиц до того, как был определен рассеивающий потенциал? Потенциал мог дать в результате, например, параллельный сдвиг пучка, а тогда мы не имели бы никакой сферической волны.

Второй шаг - первая стадия процедуры подтасовки, подгоняющей к уже решенной проблеме: в случае эксперимента Юнга говорится, что имеется две сферические волны, в действительности в эксперименте мы наблюдаем чрезвычайно узкий пучок фотонов (электронов), сталкивающихся друг с другом, и в результате мы наблюдаем в заданных направлениях модуляции интенсивности на экране. Однако, согласно Квантовой механике, фотоны движутся в вакууме, а шредингеровское уравнение не может описывать движущиеся осцилляции. Более того, протоны (электроны) прибывают к экрану один за другим, как они сталкиваются, если они не взаимодействуют? Факт, что волны подобно картинам на экране имеет общий критерий с периодическим решением уравнения Шредингера, не является доказательством того, что те возникают вследствие интерференции. Весь словесный сюжет нужен, чтобы создать впечаление, что проблема решена. В случае рассеяния Резерфорда в книге Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица мы читаем: мы будем искать решения уравнения Шредингера для угловой части f(q) расходящейся сферической волны в параболический системе координат. Каждый, однако, знает, что соответствующая система координат упрощает решение проблемы, так как в ней заключены некоторые характерные черты исследуемой проблемы, она содержит фактически некоторую часть искомого решения. Вот, например, решая задачу Кеплера в эллиптической системе координат, можно было автоматически иметь окончательное решение задачи. Параболическая система координат, требуемая в процедуре решения волнового уравнения, вводит некоторую информацию о физике проблемы - парабола представляет частный случай задачи рассеяния.

Третий шаг, когда нужны некоторые формальные подгоняющие элементы подтасовки: парабола правильно представляет кулоновское рассеяние в близкой области рассеивающего центра и уравнение Шредингера уже подготовлено к тому, чтобы произвести правильное решение. Говорится, что пси-функция на бесконечности состоит из падающей плоской волны и расходящейся сферической волны, на бесконечности волновая функция имеет только радиальные компоненты. С помощью полностью поддельной математики мы окончательно получаем волновую функцию, удовлетворяющую необходимым требованиям.

Четвертый шаг: члены, которые нам не нравятся, удаляются на основе словесных аргументов. Дело в том, что точное решение так подготовленного дифференциального уравнения еще не есть необходимое решение. Точное решение раскладывается в ряд и учитываются два члена этого разложения - остальные просто опускаются на основе словесных аргументов, что эти члены на бесконечности дают пренебрежимо малую поправку. Авторы добавляют, что падающая плоская волна как результат всех этих преобразований содержит слишком медленно убывающие члены, но они не слишком озабочены этим фактом, поскольку расходящаяся сфрическая волна правильна.

Действительно, конечный результат правилен, они получили формулу Резерфорда.
Если кто-либо хочет увидеть детали строгих, как пишут авторы, квантовых вычислений и сравнить их с представленными выше классическими вычислениями, которые, как они говорят, только случайно находятся в согласии с точным квантовым результатом, пожалуйста, щелкните здесь. Чтобы ясно представить абсурдность борновской концепции, должно знать, что рассеяние фиксированным центом сил есть простейшая задача всей физики столкновений, а Квантовая теория с ее искусственным формализмом была не в состоянии преодолеть этот тривиальный случай. Целый класс столкновений двух тел для частиц с произвольными массами и произвольными скоростями для Квантовой теории не существует. Не существует ни квантовый эквивалент формулы Резерфорда для центра с конечной массой:
 
(17)
 
 
ни квантовый эквивалент формулы Резерфорда для двух встречнопараллельно движущихся частиц:
 
(18)
 
 
где
 
(19)
 
 
Не существует квантового эквивалента поперечного сечения передачи энергии даже в ее примитивной форме, данной Дж. Дж. Томсоном. А что говорить о поперечном сечении передачи энергии в его общем виде, данном в формуле (5)?! На основе волнового формализма невозможно вычислить поперечное сечение для передачи энергии в столкновении двух тел. Это невозможно, так как физическая сущность передачи энергии основана на законе сохранения энергии, а этот закон не имеет места в волновом формализме. Трудно поверить, но Квантовая механика не в состоянии описать столкновение между двумя пересекающимися протонными (электронными) пучками, производимыми в учебном приборе!!!
 
 
Если теория не в состоянии описать столкновение между двумя протонами (электронами) в области кэВ, как она может быть использована в столкновениях высоких энергий или в столкновениях между системами заряженных частиц?
 
  Boзbpaт