ЛЕКЦИЯ
20 января 2003
АТОМ ВОДОРОДА - ЭЛЕКТРОН НА РАДИАЛЬНОБ ОРБИТЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
                     
 
Ошибка, обнаруженная в боровском рассмотрении структуры атома, я говорил об этом в предыдущей лекции, открыла путь к описанию атома с точки зрения локализованного электрона, движущегося в соответствии с детерминистскими законами классической динамики вдоль точно определенной орбиты. Тот факт, что
 
 
электроны в основном энергетическом состоянии атома движутся радиально к ядру,
 
 
немедленно поднимает вопрос:
 
 
"Каково поведение электрона вблизи ядра?".
 
В этой лекции я представлю первую часть ответа на этот вопрос (вторая часть будет дана в следующей лекции).

Электрон есть вращающееся тело. Формально, с уменьшением расстояния электрона от ядра до нуля кулоновская энергия
Z e 2 / r стремится к бесконечности, и проблема в рамках классической электростатики теряет ее физический смысл. Однако, мы должны помнить, что электрон есть вращающееся тело и что он имеет магнитный момент m = m, который является источником спинового магнитного поля H s обратно пропорционального расстоянию в третьей степени:
 
(1)
 
 
Вблизи ядра, следовательно, движение электрона, как это следует из электродинамики Ампера-Фарадея, сильно подвержено влиянию силы:
 
(2)
 
где Ze заряд ядра и v - орбитальная скорость электрона. В результате, на расстоянии порядка комптоновской длины волны электрон, радиально приближающийся к ядру, быстро изменяет направление движения и начинает двигаться обратно на периферию атома.

Так как спиновая магнитная сила не является центральной силой, в математический формализм, описывающий поведение электрона в кулоновском поле ядра, следует ввести координаты вращения электрона и эйлеровские уравнения движения, описывающие гироскопические эффекты, следует решать одновременно с ньютоновскими уравнениями движения. Однако, пока мы не интересуемся деталями проблемы, мы можем пренебречь малыми изменениями в ориентации оси вращения электрона и принять, что направление оси вращения фиксировано в пространстве, чтобы провести анализ в рамках так называемого приближения жесткого жирocкoпa (rigid top approximation). В рамках приближения жесткого жирocкoпa лагранжиан, описывающий движение электрона в кулоновском поле ядра, сконструированный в соответствии со стандартными правилами классической электродинамики, имеет вид:
 
(3)
 
 
Если лагранжиан в задаче известен, тогда, с помощью простой процедуры дифференцирования, могут быть точно написаны уравнения движения (они будут продемонстрированы позже, см. уравнения (10a), (10b), (10c)). Производя интегрирование при различных начальных условиях, мы можем искать решение, которое может представлять движение электрона в атоме.

Радиола - экваториальная орбита свободного падения. В особом случае, а именно, в случае плоскостного движения, когда ядро все время остается в экваториальной плоскости электрона, задача имеет аналитическое решение. Это решение, полученное в рамках формализма Гамильтона - Якоби, имеет вид:
 
(4)
 
 
где E и aj суть две константы движения. Константа E представляет сохранение энергии
 
(5)
E = 1/2 m v02 - Z e 2 / r 0 = const ,
 
 
и константа a j сохранение углового момента.
 
(6)
 
 
Вычисляя производную dS / da j , мы получаем уравнение траектории:
j = f (r)- и, вычисляя производную dS / dE , мы получаем соотношение между положением электрона на орбите и временем: t = f (r) . При нулевых начальных условиях, то есть, когда обе константы движения, E and a j , равны нулю, уравнение траектории, полученное из соотношения (4), имеет вид:
 
(7)
 
 
где
 
(8)
r min = 2 a 0 a ( Z a ) 1/3 .
 
 
Интеграл (7) может быть, действительно, вычислен, и мы получаем необычайно простое и элегантное соотношение:
 
(9)
r = r min / cos ( 3/2 j ) ,
 
 
Итак, мы получили очень захватывающий результат:

радиальные асимптоты траектории, независимо от заряда ядра (!), наклонены друг к другу точно под углом 120o.

Это означает, что электрон, стартующий в некоторой точке, удаленной от ядра, после трех отражений от ядра, когда
 
 
D j = 1/3 ( 2 p ),
 
 
возвращается назад к начальной точке с нулевой скоростью и траектория замкнута, см. рис. 1.
 
 
Рис. 1. Электрон на экваториальной орбите свободного падения - спин электрона перпендикулярен плоскости орбиты.
 
Приведенную выше траекторию, выглядящую как гипербола с радиальными асимптотами, мы будем называть радиолой.

Можно предположить, что это особое решение задачи, когда электрон после каждых трех отражений от ядра возвращается назад к начальной точке и его орбита замкнутая, представляет атом водорода в основном энергетическом состоянии (и во всех возбужденных состояниях с l = 0). Чтобы увидеть художественную картину атома водорода, пожалуйста, щелкните здесь.

Атомная модель свободного падения решает загадку пространственного квантования. Здесь, конечно, можно задать вопрос: какое мы имеем право утверждать, что радиола представляет орбиту электрона в основном энергетическом состоянии атома?

Среди различных аргументов, которые могут быть представлены по этому поводу, есть один особо интересный. Атомная модель, представленная выше, решает одну из самых волнующих загадок атомной физики - она дает ответ на вопрос: почему магнитный момент атома с непарным электроном, если атом помещен в магнитное поле, всегда ориентируется параллельно или антипараллельно по отношению к силовым линиям магнитного поля?

Чтобы объяснить это явление, достаточно решить тривиальную академическую задачу классической электродинамики и ответить на вопрос: каково поведение помещенной в магнитное поле металлической иглы, присоединенной одним концом к фиксированной точке, с осциллирующим током i = io sin wt .

Совершенно тривиальное рассмотрение показывает, что игла, совершая быстрые азимутальные осцилляции, будет медленно изменять ориентацию относительно силовых линий магнитного поля. Влияние оказывает сила:
 
 
F q ~ (io/w)2 sin q cos q
 
 
которая старается быть

ориентированной перпендикулярно силовым линиям магнитного поля (q - угол между магнитным полем и осью иглы).
 
 
Совершенно аналогично, «колючий» («иглистый») атом с радиально движущимися электронами стремится иметь радиальные «иглы», насколько это возможно, ориентированными перпендикулярно к магнитным силовым линиям. Атом водорода, следовательно, изменит ориентацию, чтобы иметь три радиальных сегмента орбиты перпендикулярно магнитным силовым линиям. Так как спиновая ось электрона может быть ориентирована относительно плоскости орбиты двумя способами, атомный пучок в неоднородном магнитном поле разделится на два частично поляризованных атомных пучка, см. рис. 2.
 
Атом водорода
область магнитного поля H
 
пучок хаотично ориентированных атомов
атомы, ориентированные
в магнитном поле
два частично поляризованных атомных пучка
 
Рис. 2. Т ри радиальные асимптоты стремятся быть ориентированными перпендикулярно магнитным силовым линиям. Спин электрона, который перпендикулярен к ним, может иметь только две ориентации по отношению к магнитным силовым линиям. Наблюдающееся разделение пучка, проходящего через магнитное поле, есть, следовательно, следствие плоской геометрии атома водорода и его радиальной кинетики!
 
 
Природа проста, но не тривиальна. Хотя рассмотренное выше плоское движение вращающегося электрона в кулоновском поле ядра показывает сущность внутренней кинетики атома водорода, должен быть проведен трехмерный анализ задачи, чтобы узнать еще о свойствах этого фундаментального элемента материи. К сожалению, в этом случае уравнения движения должны быть численно интегрированы. В сферической системе координат с осью z , ориентированной вдоль оси вращения электрона, они имеют вид:
 
(10a)
 
(10b)
 
(10c)
 
 
где q и j определяют угловое положение электрона, r - расстояние электрона от ядра (r = r / r min ) и t - текущее время
(t = t / t 1, t 1 = l / 2 p c ).

Выполняя численное интегрирование, стоит знать, что интегралы движения известны. Они соответственно имеют вид:
 
(11)
 
(12)
 
 
Результаты численного интегрирования, проведенного при нулевых начальных условиях,
E = 0 и a j = 0,
и для электрона, приходящего из бесконечности вдоль асимптоты, наклоненной под углом teta к экваториальной плоскости, показаны на рис. 3 и рис 4.
 
 
Фиг. 3. Результаты численного интегрирования уравнений движения для электрона, стартующего с нулевой скоростью на очень далеком расстоянии от ядра, как функция угла q 0 - угла между осью вращения электрона и радиальной асимптотой. Угол q' . угол между осью вращения и асимптотой удаляющегося электрона. Орбита электрона может быть замкнутой, если q' = q 0 .
 
 
Фиг. 4. График показывает относительное азимутальное положение начальной асимптоты (j = j 0 = 0) и конечной асимптоты (j' = j) траектории электрона как функции угла q 0 . Орбита может быть замкнутой, если j = k/n 360 o где k и n - целые числа.
 
 
В поиске замкнутых траекторий, которые могут представлять орбиту электрона в атоме, мы должны иметь в виду, что спиновая магнитная сила не является центральной силой и полярный угловой момент L, в противоположность к азимутальному моменту, не сохраняется и вообще, L 0 L'. В результате начальная асимптота и конечная асимптота электрона располагаются на двух различных конических поверхностях - асимптота электрона, приходящего с нулевым полярным угловым моментом L 0 = 0, расположена на конической поверхности с вершиной конуса, совпадающей с положением ядра, в то время как вершина конуса асимптоты отраженного электрона не помещается на ядре, так как вообще L' 0, см. рис. 5.
 
 
Рис. 5. Показано изменение полярного углового момента L как функции угла q 0 при начальном угловом моменте равном нулю (L = L 0 = 0). Орбита может быть замкнута, если полярный угловой момент до рассеяния L 0 имеют одно и то же значение.
 
 
Инспекция всех этих результатов показывает, что орбита свободного падения может быть замкнута только в том случае, если это есть случай плоской орбиты, который был рассмотрен вначале.

Можно предположить, что особое решение задачи, когда электрон после каждых трех отражений от ядра возвращается назад к начальной точке и орбита является замкнутой, представляет атом водорода в основном энергетическом состоянии (и во всех возбужденных состояниях с l = 0).
 
Спин электрона - источник симметрии в Природе. Детальный анализ более общего случая движения квазисвободного падения, то есть для электрона, прибывающего из бесконечности с некоторым малым значением полярного углового момента, L 0 0, , приводит к заключению, что электрон после двух, трех, четырех рассеяний от ядра может вернуться назад к начальной точке и орбита может быть замкнутой, обеспечивая расположение начальной и конечной асимптот на одной и той же конической поверхности, однако вершина конуса может быть сдвинута на некоторое расстояние от ядра. Это возможно, если полярный угловой момент электрона на пути к периферии атома изменяет свой знак. Это может случиться, если в окрестности данного атома имеется другой атом, см. рисунок на левом поле. Можно очень удивляться, но это может быть случаем, обеспечивающим то, что
 
 
радиальные асимптоты наклонены друг к другу под углами: 90o, 109o and 120o - которые являются фундаментальными углами стереохимии.
 
 
Таким образом, это должен быть спин электрона ответственен за порядок и прекрасную симметрию молекулярного мира! Чтобы увидеть этот прекрасный мир щелкните здесь , там и там. В свете глубокой логики, сокрытой в строгой математике, представленной выше, развитой для точно определенной физической задачи, мы должны добавить, что
 
 
вопреки тому, чему нас учили в университетах, атом есть далеко не сферический, звездоподобный объект с хорошо очерченной угловой геометрией, определяющейся радиальными сегментами орбиты, выглядящими как вытянутые «атомные руки»!
 
 
Те, кто хотят узнать несколько больше об атомной модели свободного падения, могут посмотреть по адресу: www.ipj.gov.pl/~gryzinski.
 
  Boзbpaт