This page is hosted for free by cba.pl. Are you the owner of this page? You can remove this message and unlock many additional features by upgrading to PRO or VIP hosting for just 5.83 PLN!
WYKŁAD
15 Kwiaciań 2003
ATOM HELU.
DWA ELEKTRONY ZE SPINEM W COULOMBOWSKIM POLU JĄDRA.
                     


Hel w stanie naprzewodnicta.
Nić atomów helu powiązanych siłami Van der Waalsa. Teoretycznie wyliczona energia wiązania atomów helu wynosi dokładnie tyle ile wynosi temperatura przejścia fazowego w fazę nadciekłości to znaczy 2.2 o K!!!
Od czasów J.J. Thomsona i E. Rutherforda wiemy, ze atom helu, drugi z kolei pierwiastek w okresowej tablicy Mendelejewa, posiada dodatnio naładowane jądro i dwa elektrony. Wiemy ponadto, ze potrzeba 24.6 eV aby oderwać pierwszy elektron atomu, a 54.6 eV jest potrzebne aby oderwać drugi elektron. Te dwie, mierzone bezpośrednio w eksperymencie wielkości, zwane, odpowiednio, pierwszym i drugim potencjałem jonizacji, odgrywają role karty identyfikacyjnej atomu. Jest zadaniem teorii, z tego szczątka informacji, za pomocą matematycznego formalizmu stworzonego w ramach określonego systemu praw, odtworzyć wewnętrzny porządek panujący w atomie.
 
Fałszywy start. Badania mające na celu zbudowanie dynamicznego modelu atomu helu zostały podjęte bezpośrednio po odkryciu Rutherforda. Niestety, pierwsze próby zidentyfikowania trajektorii dwu punktowych elektronów poruszających się w Coulombowskim polu punktowego jądra skończyły się niepowodzeniem. N. Bohr z uwagi na analogie do swojego błędnego, jak już wiemy, kołowego modelu atomu wodoru, zaproponował kołowy model atomu helu, patrz rysunek 1a. Niebawem jednak okazało się, że model atomu z dwoma elektronami krążącymi wokół jądra nie ma nic wspólnego z fizyczną rzeczywistością, jako że model ten, między innymi, miał ewidentnie złe własności magnetyczne. Rzeczywiście, pomiary wykonane w ramach doświadczenia Sterna Gerlacha nie pozostawiały żadnych wątpliwości, że dipolowy moment magnetyczny atomu helu równy jest zero, podczas gdy obliczenia przeprowadzone na podstawie kołowego modelu Bohra dawały wartość aż 1.6 magnetonów Bohra. Langmuir aby być w zgodzie zaproponował inną formę kolektywnego ruchu dwu elektronów, patrz rysunek1b. W tym jednak przypadku, elektrostatyczna energia oddziaływania dwu elektronów, okazała się być zbyt wysoka. Ponadto, atom helu jest nadzwyczaj stabilnym pierwiastkiem, a tymczasem kolektywny ruch dwóch elektronów w modelu Langmuira jest wysoce niestabilny. Brak sukcesów w rozwiązaniu problemu był przez adwokatów kwantowej mechaniki przedstawiany jako argument na rzecz tezy, że atomu nie można opisać w ramach deterministycznych praw dynamiki klasycznej. W rezultacie, prace nad skonstruowaniem dynamicznego modelu atomu w ramach pojęcia zlokalizowanego elektronu poruszającego się po ściśle określonej orbicie zostały na długi czas zastopowane.Dopiero kilka dziesiątków lat później, z uwagi na wielki sukcesy binarnej teorii zderzeń atomowych jaką opracowałem na bazie Newtonowskiej dynamiki i prawa Coulomba, problem modelu atomu znowu stał się aktualny. W teorii zderzeń atomowych, o której mówiłem dwa wykłady wcześniej, model atomu odgrywa role warunków początkowych dla problemu zderzeniowego i stanowi inherentną cześć obliczeniowego formalizmu.

Model atomu a teoria zderzeń. Jest rzeczą oczywista, ze rezultaty zderzenia musza mniej lub bardziej zależeć od struktury zderzających się atomów. W klasycznej teorii zderzeń atomowych rezultaty teorii w sposób jawny zależą od modelu przyjętego do obliczeń. Można przeto, porównując rezultaty obliczeń przeprowadzonych dla konkretnego modelu z danymi eksperymentalnymi uzyskać pewne informacje o jego budowie. Taka właśnie procedura doprowadziła mnie w 1965 roku [Phys. Rev. Lett. 14 (1965) 1059] do całkiem fundamentalnego odkrycia. Konfrontacja obliczeń z doświadczeniem nie pozostawiała miejsca na żadne wątpliwości,
 
 
w ruchu elektronów w atomie dominuje radialna kinetyka!
 
 
W ten to sposób narodziła się koncepcja modelu swobodnego spadku z symetrycznie rozmieszczonymi elektronami i poruszającymi się kolektywnie w kierunku jądra, patrz rysunek 1c.
 
Bohr (1913)
Langmuir (1921)
      MG (1965)
m = 1.6 m 0
s = 0.25
m = 0
s = 0.40
      m = 0
      s = 0.25
EXPERIMENTAL VALUES: m = 0, s = 0.296
Rys. 1. Trzy różne modele atomu helu - historia badań nad elektronową budową atomu helu.
 
 
Aczkolwiek prosty atomowy model swobodnego spadku umożliwił rozwiązanie wielu problemów fizyki atomowej, w szczególności pozwolił całkiem dokładnie opisać atomowy diamagnetyzm i siły Van der Waalsa i ujawnić fizyczną naturę zjawiska Ramzauera [J. Chem. Phys. 62 (1965) 2610, 2620, 2629], jasnym było już od samego początku, że prosty ruch radialny może być traktowany jedynie jako punkt wyjścia do opisu bardziej wyrafinowanej rzeczywistości.

Ważną przesłanką wskazującą kierunek dalszych poszukiwań mających na celu rozszyfrowanie wewnętrznej struktury atomu dostarczyły pomiary rozpraszania wolnych elektronów pod malymi katami - w przypadku atomu helu był to niewielki garb w przekroju czynnym w obszarze kilku elektronowolt. Teoretyczna analiza tego garbu wykazała, że ma on swoje źródła w dipolowych oscylacjach elektrycznego pola atomu helu. Wniosek ten był silnym argumentem przemawiającym za tym, że kolektywny ruch dwu elektronów nie jest ruchem czysto radialnym.

Dwa elektrony bez spinu w kolektywnym ruchu w Coulombowskim polu jądra. Aby wyjść poza prosty model swobodnego spadku z radialnie poruszającymi się elektronami dokonano szczegółowej analizy różnych możliwości kolektywnego ruchu dwu elektronów w Coulombowskim polu jądra [Fizika, 19 (1987) 325]. Rezultaty tej analizy można podsumować w sposób następujący.
 
 
Każda orbita określona jest poprzez energię wiązania elektronów W która jest bezpośrednio związana z pomierzonymi wartościami potencjałów U i oraz U ii w sposób następujący:
 
 
W = 1/2 (U i + U ii) .
 
 
Współczynnik ekranowania s, który reprezentuje energię oddziaływania elektronów, a który dla danej orbity może być obliczony teoretycznie, powiązany jest z energią wiązania W, jaką daje nam eksperyment, w sposób następujący:
 
 
( Z - s ) 2 UiH = W ,
 
 
gdzie U iH jest potencjałem jonizacji atomu wodoru. Analiza wykazała, że istnieje cale nieskończone spektrum trajektorii zamkniętych, niektóre z nich przedstawione są na rys. 2.
 
 
Rys. 2. Trzy najprostrze orbity zamknięte otrzymane na drodze numerycznego całkowania Newtonowskich równań ruchu dla dwóch elektronów poruszających się kolektywnie w Coulombowskim polu jądra.
 
 
Porównując wartości współczynnika ekranowania wyliczonego dla danej orbity teoretycznie, z wartością współczynnika wyliczonego z eksperymentalnie znalezionej wartosci energii wiązania W , można było próbować zidentyfikować orbitę, która mogłaby odzwierciedlać rzeczywisty ruch elektronów w atomie helu. Niestety, w przypadku orbit, które mogłyby reprezentować ten atom oba elektrony zbliżają się do siebie na taka odległość, ze koniecznie trzeba uwzględnić ich magnetyczne oddziaływanie, patrz rys. 3.
 
      WSPÓŁCZYNNIK EKRANOWANIA s
SPIN-SPIN INTERACTION:
SILNE       
SŁABE
 
Rys. 3. Współczynnik ekranowania s odpowiadający orbitom zamkniętym o różnych kształtach w funkci energii drgań kątowych. E q Szara pozioma linia odpowiada eksperyemntalnie określonej wartości współczynnika ekranowania 0,296.
 
Jak więc z wykresu przedstawionego na powyższym rysunku wynika stanęliśmy wobec konieczności wprowadzenia do rozważań spinowych własności elektronu.

Elektron - obiekt wirujący. Poszerzenie naszych teoretycznych rozważań na spinowe własności elektronu wiąże się z wprowadzeniem do teorii Eulerowskich równań ruchu opisujących zachowanie się wirujących obiektów. Na szczęście powolne zmiany orientacji spinowej osi elektronu, jakie mają miejsce w wyniku nie centralnego oddziaływania magnetycznego mogą być pominięte i problem może być potraktowany podobnie jak to miało miejsce w przypadku atomu wodoru, to znaczy w tzw. przybliżeniu sztywnego żyroskopu. W takim przypadku o ruchu elektronów decydować będą trzy różne rodzaje oddziaływania.

Aby w sposób jawny zapisać formuły opisujące te oddziaływania wprowadzimy następujące oznaczenia: oznaczymy odległość pierwszego elektronu do jądra poprzez r 1, odległość drugiego elektronu poprzez r 2 a odległość między elektronami przez r 12 . W sposób analogiczny oznaczymy odpowiednio prędkości.
 
r 12 = r 1 - r 2 = - r 21 ,
v 12 = v 1 - v 2 = - v 21 .
 
 
1. Elektrostatyczne oddziaływanie elektronów z jądrem i wzajemne oddziaływanie dwóch elektronów:
 
(1)
 
 
2. Spin - spin magnetyczne oddziaływanie między elektronami:
 
(2)
 
 
3. Elektromagnetyczne oddziaływanie między elektronami i między każdym elektronem i jądrem:
 
(3)
 
 
gdzie A s - potencjał wektorowy opisujący spinowe pole magnetyczne elektronu, m - moment magnetyczny elektronu a s 1 i s 2 wektory jednostkowe opisujące orientację rozpatrywanych elektronów w przestrzeni.

W świetle powyższego Lagrangian opisujący zachowanie się rozpatrywany elektronów w Coulombowskim polu jądra będzie miał następującą postać:
 
(4)
 
 
gdzie L przedstawia moment pędu danego elektronu (1 albo 2) względem jądra.
 
(5)
 
 
Dwa wirujące elektrony w ruchu kolektywnym. Szczegółowa analiza przytoczonego powyżej Lagrangianu pokazała, że w zasadzie istnieją tylko dwie możliwości kolektywnego ruchu obu elektronów. Jedna możliwość to ruch z równolegle zorientowanymi spinami i równoległym do nich wektorem momentu - i druga możliwość to ruch z anty równolegle zorientowanymi spinami i momentem pędu równym zero:
 
 
i
 
i
L = 0
 
 
W przypadku spinów równoległych mamy doczynienia z osiową symetrią a trajektorie obu elektronów leżą na powierzchni cylindrycznej, w przeciwnym przypadku spinów antyrównoległych ruch jest płasdki i posiada zwierciadlaną symetrię. W obu przypadkach, odległości do jądra i szybkości obu elektronów są jednakowe, a ich osie spinowe pozostają cały czas prostopadłe do wektora ich względnego położenia r 12:
 
 
| r 1 | = | r 2 | = r ,
 
| v 1 | = | v 2 | = v ,
 
 
i
 
 
W rezultacie Lagrangian opisujący kolektywny ruch dwóch elektronów w Coulombowskim polu jądra przyjmuje postać:
 
(6)
 
 
Równania ruchu dwóch elektronów ze sparowanymi spinami otrzymane z powyższego Lagrangiana i zapisane w układzie współrzędnych x-y prostokątnych mają postać:
 
(7)
 
(8)
 
 
Niestety, chociaż znamy całkę energii:
 
(9)
 
 
równania ruchu muszą być całkowane numerycznie.

Całkowanie numeryczne. Aby przeprowadzić całkowanie numeryczne wygodnie jest równania ruchu zapisać w postaci bezwymiarowej. I tak, wprowadzając następującą jednostkę długości
 
(10)
 
 
i następującą jednostkę czasu:
 
(11)
 
 
trzy równania opisujące problem przyjmują postać:
 
(12)
 
(13)
 
(14)
 
 
gdzie symbole podkreślone przedstawiają odpowiednie zmienne w bezwymiarowej postaci, np. r = r / l 1, współczynniki k i g wyrażają się następująco:
 
(15)
 
(16)
 
 
gdzie m e - magnetyczny moment elektronu w magnetonach Bohra.
 
(17)
 
 
W przypadku atomu helu Z = 2, W = (U 1 + U 2) / 2 = 39.5 eV, a przeto:
 
 
k He = 1.317 10 -4 ,
 
g He = 1.052 10 -4 .
 
 
Dotąd dopóki elektrony nie znajdują się blisko jeden od drugiego to znaczy
 
 
g / x 2 << k ,
 
 
ruch obu elektronów jest taki sam jak i w bez spinowym przypadku omówionym powyżej.

Prowadząc obliczenia w przypadku anty-równoległej orientacji spinów napotykamy na fundamentalną trudność. Obliczenia wykazują, że dwa elektrony mogą zbliżyć się na odległość przy której siła magnetycznego przyciągania przewyższa Coulombowskie odpychanie i siłę odśrodkową i odległość między nimi będzie maleć do zera a energia oddziaływania rosnąć do nieskończoności.

Tak oto doszliśmy do obszaru, gdzie pojęcie punktowego elektronu traci swój sens.

Aby uniknąć katastrofy spinowej anihilacji należało wprowadzić ograniczenie na magnetyczną energię spinowego oddziaływania. Oczywistym jest, że magnetyczna energia oddziaływania dwóch elektronów nie może przewyższać całkowitej energii układu, która w tym przypadku równa jest energii spoczynkowej obu elektronów. Przyjmując, że połowa energii spoczynkowej elektronu ma magnetyczną naturę, a połowa ma naturę elektrostatyczną, otrzymamy następujące oszacowanie dla magnetycznego promienia elektronu:
 
(18)
 
 
Na szczęście, globalny kształt orbity elektronu jest mało czuły na magnetyczny promień elektronu i można było podjęty problem rozwiązać dość dokładnie bez wchodzenia w rozważania na temat wewnętrznej budowy elektronu.

Rozwiązanie problemu. Poszukiwania orbity, która mogłaby odzwierciedlać rzeczywisty ruch elektronów w atomie były znacznie uproszczone z tego tytułu, że zasadniczy kształt orbity określony jest oddziaływaniem Coulombowskim. Można było przeto wziąć za bazę dla numerycznego całkowania równań ruchu dla elektronu ze spinem, zamknięte trajektorie rozwiązania bez-spinowego. Dalsze zawężenie problemu wynkało z eksperymentalnego faktu, że atom helu nie posiada stałego dipolowego momentu i orbital elektronowy powinien być symetryczny względem osi y. Było wygodnym przeto zdefiniować warunki początkowe dla numerycznego całkowania w punkcie
 
 
x = x 0 ,
 
y = 0 .
 
 
gdzie składowe prędkości odpowiadające temu punktowi startowemu wyliczamy z prawa zachowania energii:
 
 
d x /d t | x = x o, y = 0    =   0 ,
 
d y /d t | x = x o, y = 0    =   v y0 ,
 
 
Najbardziej prosta zamknięta orbita przy oddziaływaniu spin-spin ma postać pokazaną na rys. 4.
 
Rys. 4. Elektronowa budowa atomu helu.
 
 
Aczkolwiek ta elegancka orbita jaka pokazana jest na rys. 4. była silnym emocjonalnym argumentem, że odkryliśmy jeden z największych dziwów niewidzialnego mikroświata to niezbędnym było dostarczyć ścisłego dowodu na to, że znalezione rozwiązanie faktycznie opisuje fizyczną rzeczywistość. Jednym z takich dowodów było to, że obliczona wartość współczynnika ekranowania
 
 
s = ( 1 / 4x ) / ( 1 / r ) ,
 
 
która określa energię wiązania atomu była w idealnej zgodności z eksperymentem:
 
s exp. = 0.296 ,
 
s theor. = 0.302 .
 
Koronnym jednak argumentem świadczącym o tym, że obraz pokazany na rys. 4. odzwierciedla dokładnie ruch elektronu w atomie helu. było to, że obliczone na podstawie tego modelu własności ciekłego helu okazały się być w idealnej zgodności z wieloma wynikami obserwacji. Aby zapoznać się z tymi i innymi argumentami patrz rys. 5 i kliknij tutaj.
Rys. 5. Atomy helu w stanie nadprzewodnictwa powiązane siłami Van der Waalsa tworzą cienki sznur. Sznur przewieszony na przegrodzie przemieszcza się pod wpływem siły grawitacji wynikającej z rożnicy długości obu odcinkow tego sznura.
 
  Powrót