ЛЕКЦИЯ
15 апреля 2003 года
АТОМ ГЕЛИЯ.
ДВА ВРАЩАЮЩИХСЯ ЭЛЕКТРОНА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ ЯДРА.
                     


Гелии в сверхпроводящем состоянии.
Взаимно ориентированы расположены в одноатомную нить атомы гелия связаны силами Ван дер Ваалса. Энергия связи рассчитанная согласно найденной модели точно совпадает с энергией фазового перехода в сверхпроводящие состояние 2.2 o K!!!
Со времен Дж. Дж. Томсона и Э. Резерфорда мы хорошо знаем, что атом гелия, второго элемента в менделеевской периодической таблице элементов, имеет положительно заряженное ядро и два электрона. Мы хорошо знаем, кроме того, что 24,59 эВ необходимо для того, чтобы удалить первый электрон из этого атома, в то время как необходимы 54,42 эВ, чтобы удалить второй электрон. Эти две непосредственно измеренные в эксперименте величины, названные, соответственно, первым и вторым ионизационным потенциалом, играют роль идентификационной карты атома. Цель теории - на основе этого клочка информации и с помощью математического формализма, развитого в рамках определенной системы законов, реконструировать внутренний порядок, существующий внутри атома.
 
Фальстарт. Исследования, нацеленные на конструирование динамической модели атома гелия, были предприняты сразу же после открытия Резерфорда. К сожалению, первые попытки установить траектории двух точечных электронов, движущихся в кулоновском поле точечного ядра, не увенчались успехом. Н. Бор по аналогии с его ошибочной, как мы уже знаем, круговой моделью атома водорода, предложил круговую модель атома гелия, см. Рис. 1а. Довольно скоро стало ясно, что атомная модель с двумя электронами, обращающимися вокруг ядра, не может иметь ничего общего с физической реальностью, так как эта модель имеет среди прочих очевидно несоответствующие магнитные свойства. Действительно, измерения в эксперименте Штерна-Герлаха не оставили места для сомнений, что дипольный магнитный момент атома гелия равен нулю, в то время как магнитный момент, вычисленный для боровской круговой модели, был высок, как 1,6 магнетонов Бора. И. Ленгмюр, чтобы находиться в согласии с экспериментом, предложил другую форму коллективного движения двух электронов, см. Рис. 1b В этом случае, однако, энергия электростатического взаимодействия двух электронов оказалась слишком высокой. Более того, атом гелия - исключительно стабильный элемент, в то время как коллективное движение двух электронов в модели Ленгмюра чрезвычайно нестабильно. Отсутствие успеха в решении этой проблемы адвокатами квантовой механики было представлено как аргумент, поддерживающий тезис, что атом не может быть описан на основе детерминистских законов классической динамики. В результате исследования по конструкции динамической модели атома в рамках представлений о локализованном электроне, движущемся по точно определенной орбите, были остановлены на длительное время.Только спустя несколько десятилетий в связи с большим успехом бинарных столкновений мной была развита теория атомных столкновений на основе ньютоновской динамики и закона кулоновского взаимодействия; проблема модели атома снова стала актуальной. В теории атомных столкновений (я говорил об этом две лекции тому назад) атомная модель играет роль начальных условий для проблемы столкновений и формирует неотъемлемую часть вычислительного формализма.

Атомная модель и теория столкновений. Совершенно очевидно, что результат столкновения более или менее зависит от структуры сталкивающихся атомов. В классической теории атомных столкновений теоретические результаты явным образом зависят от атомной модели, использующейся в вычислениях. Можно, следовательно, сравнивая результаты вычислений, проведенные для различных атомных моделей, с экспериментальными данными, получить некоторую информацию об атоме. Такая процедура привела меня в 1965 году [Phys. Rev. Lett. 14 (1965) 1059] к совершенно фундаментальному открытию. Сопоставление вычислений с экспериментом не оставило места для сомнений, что
 
 
в движении атомных электронов доминирует радиальная кинетика
 
 
Таким путем я пришел к представлению об атомной модели свободного падения с электронами, симметрично локализованными в пространстве и движущимися коллективно к ядру, см. Рис. 1с.
 
Бор (1913)
Ленгмюр ( (1921)
      МГ (1965)
m = 1.6 m 0
s = 0.25
m = 0
s = 0.40
      m = 0
      s = 0.25
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ: m = 0, s = 0.296
 
Рис. 1. Три различные модели атома гелия - история исследований электронной структуры атома гелия.
 
 
Хотя простая атомная модель свободного падения в состоянии решить различные проблемы атомной физики, в частности описать совершенно точно атомный диамагнетизм и силы Ван дер Ваальса и раскрыть физическую природу эффекта Рамзауэра [J. Chem. Phys. 62 (1965) 2610, 2620, 2629], с самого начала было ясно, что простое радиальное движение может быть рассмотрено только как стартовая точка к описанию более изощренной физической реальности.

Важный намек, указывающий направление последующих исследований по расшифровке внутренней структуры атома, подали измерения рассеяния на малые углы медленных электронов от атомов - в частном случае атома гелия был маленький пик в поперечном сечении рассеяния при энергиях в несколько электрон-вольт. Теоретический анализ этого пика показал, что его источник в дипольных осцилляциях электрического поля атома гелия. Это был совершенно строгий аргумент, что коллективное движение двух электронов не может быть как раз радиальным.

Два бесспиновых электрона в коллективном движении в кулоновском поле ядра. Для того, чтобы внести ясность в этот аспект проблемы, коллективное движение двух электронов в кулоновском поле ядра было подвергнуто детальному анализу [Fizika, 19 (1987) 325]. Результаты этих исследований можно суммировать следующим образом.
 
 
Каждая орбита определяется значением энергии связи W, которое прямо связано с измеренными в эксперименте ионизационными потенциалами U i, U ii следующим образом
 
 
W = 1/2 (U i + U ii) .
 
 
Параметр экранирования s , который представляет энергию взаимодействия между электронами и который для каждой из замкнутых орбит может быть вычислен теоретически, задается соотношением
 
 
( Z - s ) 2 UiH = W ,
 
 
где U iH - ионизационный потенциал атома водорода. Анализ показал, что здесь существует целый бесконечный дискретный спектр замкнутых орбит, они показаны на Рис. 2.
 
 
Рис. 2. Три самые простые замкнутые орбиты, полученные при численном интегрировании ньютоновских уравнений движения для двух электронов, движущихся коллективно в кулоновском поле ядра.
 
 
Сравнивая значение параметра экранирования, вычисленного для заданной орбиты по формуле, приведенной выше, можно попытаться установить орбиту, которая может представлять движение электронов в реальном атоме гелия. К сожалению, на орбите, которая может представлять атом гелия, электроны подходят друг к другу на расстояние, на котором нельзя далее пренебрегать спин-спиновым магнитным взаимодействием, см. Рис. 3.
 
      КОЭФФИЦИЕНТ ЭКРАНИРОВАНИЯ s
СПИН-СПИНОВОЕ ВЗАИМОДЕБСТВИЕ:
СИЛЬНОЕ       
СЛАБОЕ
 
Рис. 3. Параметр экранирования s для различных замкнутых орбит как функция энергии трансверсальных осцилляций - E q.
 
В свете сказанного выше необходимо включить в теорию спиновые свойства электрона.

Электрон – вращающееся тело. Расширение нашего теоретического рассмотрения на магнитные свойства электрона подразумевает включение в теорию эйлеровских уравнений движения, описывающих поведение вращающихся тел. К счастью, медленными изменениями ориентации спиновой оси электрона, которые происходят в результате нецентрального магнитного взаимодействия, можно пренебречь, и проблема может быть исследована аналогично тому, как это было сделано в случае атома водорода, в так называемом приближении жесткого гироскопа. В таком случае, движение электронов определяется взаимодействием трех различных типов.

Чтобы явно написать эти члены, введем следующие обозначения: обозначим расстояние первого электрона до ядра через r 1, расстояние второго электрона - через r 2, а расстояние между электронами через r 12
 
r 12 = r 1 - r 2 = - r 21 ,
v 12 = v 1 - v 2 = - v 21 .
 
 
1. Электростатическое взаимодействие электронов с ядром и взаимодействие двух электронов:
 
(1)
 
 
2. Спин-спиновое магнитное взаимодействие между электронами:
 
(2)
 
 
3. Электромагнитное взаимодействие между электронами и между каждым электроном и ядром:
 
(3)
 
 
Где A s - векторный потенциал, описывающий спиновое магнитное поле электрона, m - магнитный момент электрона, а s 1 и s 2 единичные векторы, описывающие ориентацию рассматриваемых электронов в пространстве.

В виду сказанного выше, лагранжиан, описывающий поведение рассматриваемых электронов в кулоновском поле ядра, будет иметь следующий вид:
 
(4)
 
 
где L представляет угловой момент данных электронов (1 или 2) относительно ядра
 
(5)
 
 
Два вращающихся электрона в коллективном движении. Детальный анализ лагранжиана, приведенного выше, показал, что в принципе имеются две возможные формы коллективного движения. Одна: с параллельно ориентированными спинами и вектором углового момента, параллельном спиновой оси электронов - и другая: с антипараллельно ориентированными спинами и угловым моментом, равным нулю.
 
 
и
 
и
L = 0
 
 
В первом случае движение обоих электронов аксиально симметрично, в то время как во втором случае движение имеет зеркальную симметрию. В обоих случаях расстояние до ядра и скорость обоих электронов одинаковы, а их спиновые оси все время перпендикулярны вектору их относительного положения r 12:
 
 
| r 1 | = | r 2 | = r ,
 
| v 1 | = | v 2 | = v ,
 
 
и
 
 
Наконец, лагранжиан, описывающий коллективное движение двух электронов в кулоновском поле ядра, принимает вид:
 
(6)
 
 
Уравнения движения двух электронов со спаренными спинами получаются из лагранжиана, приведенного выше, и записанные в декартовых координатах имеют вид:
 
(7)
 
(8)
 
 
К сожалению, хотя интеграл энергии известен:
 
(9)
 
 
уравнения движения должны быть интегрированы численно.

Численное интегрирование. Для того, чтобы выполнить численное интегрирование, удобно записать уравнения движения в безразмерной форме. Так, введя следующую единицу длины
 
(10)
 
 
и следующую единицу времени
 
(11)
 
 
три уравнения, описывающие задачу, принимают вид:
 
(12)
 
(13)
 
(14)
 
 
где подчеркнутые символы представляют соответствующие переменные в безразмерной форме, например, r = r / l 1. Коэффициенты k и g задаются формулами:
 
(15)
 
(16)
 
 
где m e - магнитный момент электрона в магнетонах Бора:
 
(17)
 
 
В случае атома гелия Z = 2, W = (U 1 + U 2) / 2 = 39.5 eV эВ и, следовательно,
 
 
k He = 1.317 10 -4 ,
 
g He = 1.052 10 -4 .
 
 
Пока электроны не слишком близки друг к другу, то есть пока
 
 
g / x 2 << k ,
 
 
движение обоих электронов почти такое же, как в бесспиновом случае, который мы обсудили в предыдущем параграфе.

Начиная вычисления, мы, однако, встречаем вполне фундаментальную трудность в случае антипараллельной ориентации спинов. Вычисления показывают, что два электрона могут приближаться друг к другу на расстояние, на котором спин-спиновое магнитное взаимодействие превышает кулоновское отталкивание, и задача теряет свой физический смысл.

Таким образом, мы очевидно достигли точки, где представление о точечном электроне не может быть далее использовано.

Чтобы избежать катастрофы спиновой аннигиляции, необходимо ввести некоторые ограничения на энергию спинового магнитного взаимодействия двух электронов. Очевидно, эта энергия взаимодействия не может превышать полную энергию системы, которая равна энергии покоя двух электронов. Следовательно, принимая, что половина энергии покоя электрона имеет магнитную природу и половина имеет электростатическую природу, мы получим следующую наметку для спинового магнитного радиуса электрона:
 
(18)
 
 
К счастью, глобальная форма электронной орбиты, как было показано, не чувствительна к значению магнитного радиуса электрона.

Решение задачи. Поиск замкнутой орбиты, которая могла бы представлять реальный атом, был значительно упрощен тем фактом, что доминирующая часть орбиты определяется кулоновским взаимодействием. Следовательно, можно было располагать замкнутыми траекториями бесспиновой задачи как базисом для численного интегрирования уравнений движения электронов со спином. Имея в виду экспериментальный факт, что атом гелия не обладает постоянным дипольным моментом, было ясно, что электронная орбита должна была бы быть симметричной относительно оси y системы. Поэтому было удобно определить начальные условия для численного интегрирования в точке
 
 
x = x 0 ,
 
y = 0 .
 
 
с начальными скоростями
 
 
d x /d t | x = x o, y = 0    =   0 ,
 
d y /d t | x = x o, y = 0    =   v y0 ,
 
 
определяющимися законом сохранения энергии. При спин-спиновом взаимодействии самая простая замкнутая орбита имеет форму, показанную ниже на рисунке 4.
 
Рис. 4. Два электрона атома гелия в коллективном движении в основном энергетическом состоянии.
 
 
Хотя привлекательная орбита, показанная на рис. 4, была сильным эмоциональным аргументом, что мы обнаружили одну из самых больших диковин незримого микромира, необходимо было дать точное доказательство, что найденное решение описывает физическую реальность. Факт, что вычисленное значение параметра экранирования
 
 
s = ( 1 / 4x ) / ( 1 / r ) ,
 
 
который определяет энергию связи атома, как было показано, находится в прекрасном согласии с экспериментом:
 
s exp. = 0.296 ,
 
s theor. = 0.302 .
 
Чтобы посмотреть, насколько глубоко найденная орбита представляет физическую реальность, пожалуйста посмотрите пониже, рис.5, или щелкните здесь.
Рис. 5. Атомы гелия в сверхпроводящем состоянии образуют тонкую нить. Нить висящая на перегородке перемещается за счёт гравитации, в ту сторону где нить длине. Этим способом сверхпроводящий гелии перепевается до сосуда где уровень течи ниже.
 
  Boзbpaт